Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Unicode version

Theorem lflnegcl 32157
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 32228, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v
lflnegcl.r
lflnegcl.i
lflnegcl.n
lflnegcl.f
lflnegcl.w
lflnegcl.g
Assertion
Ref Expression
lflnegcl
Distinct variable groups:   ,   ,I   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8
32lmodrng 16769 . . . . . . 7
41, 3syl 16 . . . . . 6
5 rnggrp 16478 . . . . . 6
64, 5syl 16 . . . . 5
76adantr 455 . . . 4
81adantr 455 . . . . 5
9 lflnegcl.g . . . . . 6
109adantr 455 . . . . 5
11 simpr 451 . . . . 5
12 eqid 2422 . . . . . 6
13 lflnegcl.v . . . . . 6
14 lflnegcl.f . . . . . 6
152, 12, 13, 14lflcl 32146 . . . . 5
168, 10, 11, 15syl3anc 1203 . . . 4
17 lflnegcl.i . . . . 5
1812, 17grpinvcl 15520 . . . 4
197, 16, 18syl2anc 646 . . 3
20 lflnegcl.n . . 3
2119, 20fmptd 5837 . 2
22 rngabl 16502 . . . . . . . 8
234, 22syl 16 . . . . . . 7
2423adantr 455 . . . . . 6
254adantr 455 . . . . . . 7
26 simpr1 979 . . . . . . 7
271adantr 455 . . . . . . . 8
289adantr 455 . . . . . . . 8
29 simpr2 980 . . . . . . . 8
302, 12, 13, 14lflcl 32146 . . . . . . . 8
3127, 28, 29, 30syl3anc 1203 . . . . . . 7
32 eqid 2422 . . . . . . . 8
3312, 32rngcl 16486 . . . . . . 7
3425, 26, 31, 33syl3anc 1203 . . . . . 6
35 simpr3 981 . . . . . . 7
362, 12, 13, 14lflcl 32146 . . . . . . 7
3727, 28, 35, 36syl3anc 1203 . . . . . 6
38 eqid 2422 . . . . . . 7
3912, 38, 17ablinvadd 16236 . . . . . 6
4024, 34, 37, 39syl3anc 1203 . . . . 5
41 eqid 2422 . . . . . . . 8
42 eqid 2422 . . . . . . . 8
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 32143 . . . . . . 7
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1215 . . . . . 6
4544fveq2d 5665 . . . . 5
4612, 32, 17, 25, 26, 31rngmneg2 16515 . . . . . 6
4746oveq1d 6076 . . . . 5
4840, 45, 473eqtr4d 2464 . . . 4
4913, 2, 42, 12lmodvscl 16778 . . . . . . 7
5027, 26, 29, 49syl3anc 1203 . . . . . 6
5113, 41lmodvacl 16775 . . . . . 6
5227, 50, 35, 51syl3anc 1203 . . . . 5
53 fveq2 5661 . . . . . . 7
5453fveq2d 5665 . . . . . 6
55 fvex 5671 . . . . . 6
5654, 20, 55fvmpt 5744 . . . . 5
5752, 56syl 16 . . . 4
58 fveq2 5661 . . . . . . . . 9
5958fveq2d 5665 . . . . . . . 8
60 fvex 5671 . . . . . . . 8
6159, 20, 60fvmpt 5744 . . . . . . 7
6229, 61syl 16 . . . . . 6
6362oveq2d 6077 . . . . 5
64 fveq2 5661 . . . . . . . 8
6564fveq2d 5665 . . . . . . 7
66 fvex 5671 . . . . . . 7
6765, 20, 66fvmpt 5744 . . . . . 6
6835, 67syl 16 . . . . 5
6963, 68oveq12d 6079 . . . 4
7048, 57, 693eqtr4d 2464 . . 3
7170ralrimivvva 2788 . 2
7213, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 32142 . . 3
731, 72syl 16 . 2
7421, 71, 73mpbir2and 898 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694  e.cmpt 4325  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cbs 14114   cplusg 14178   cmulr 14179   csca 14181   cvsca 14182   cgrp 15350   cminusg 15351   cabel 16215   crg 16469   clmod 16761   clfn 32139
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  32227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-map 7177  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-plusg 14191  df-0g 14320  df-mnd 15355  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-cmn 16216  df-abl 16217  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-ur 16474  df-lmod 16763  df-lfl 32140
  Copyright terms: Public domain W3C validator