Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lflnegcl Unicode version

Theorem lflnegcl 33571
Description: Closure of the negative of a functional. (This is specialized for the purpose of proving ldualgrp 33642, and we do not define a general operation here.) (Contributed by NM, 22-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lflnegcl.v
lflnegcl.r
lflnegcl.i
lflnegcl.n
lflnegcl.f
lflnegcl.w
lflnegcl.g
Assertion
Ref Expression
lflnegcl
Distinct variable groups:   ,   ,I   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem lflnegcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lflnegcl.w . . . . . . 7
2 lflnegcl.r . . . . . . . 8
32lmodrng 17132 . . . . . . 7
41, 3syl 16 . . . . . 6
5 rnggrp 16826 . . . . . 6
64, 5syl 16 . . . . 5
76adantr 465 . . . 4
81adantr 465 . . . . 5
9 lflnegcl.g . . . . . 6
109adantr 465 . . . . 5
11 simpr 461 . . . . 5
12 eqid 2454 . . . . . 6
13 lflnegcl.v . . . . . 6
14 lflnegcl.f . . . . . 6
152, 12, 13, 14lflcl 33560 . . . . 5
168, 10, 11, 15syl3anc 1219 . . . 4
17 lflnegcl.i . . . . 5
1812, 17grpinvcl 15742 . . . 4
197, 16, 18syl2anc 661 . . 3
20 lflnegcl.n . . 3
2119, 20fmptd 5990 . 2
22 rngabl 16850 . . . . . . . 8
234, 22syl 16 . . . . . . 7
2423adantr 465 . . . . . 6
254adantr 465 . . . . . . 7
26 simpr1 994 . . . . . . 7
271adantr 465 . . . . . . . 8
289adantr 465 . . . . . . . 8
29 simpr2 995 . . . . . . . 8
302, 12, 13, 14lflcl 33560 . . . . . . . 8
3127, 28, 29, 30syl3anc 1219 . . . . . . 7
32 eqid 2454 . . . . . . . 8
3312, 32rngcl 16834 . . . . . . 7
3425, 26, 31, 33syl3anc 1219 . . . . . 6
35 simpr3 996 . . . . . . 7
362, 12, 13, 14lflcl 33560 . . . . . . 7
3727, 28, 35, 36syl3anc 1219 . . . . . 6
38 eqid 2454 . . . . . . 7
3912, 38, 17ablinvadd 16460 . . . . . 6
4024, 34, 37, 39syl3anc 1219 . . . . 5
41 eqid 2454 . . . . . . . 8
42 eqid 2454 . . . . . . . 8
4313, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14lfli 33557 . . . . . . 7
4427, 28, 26, 29, 35, 43syl113anc 1231 . . . . . 6
4544fveq2d 5817 . . . . 5
4612, 32, 17, 25, 26, 31rngmneg2 16864 . . . . . 6
4746oveq1d 6237 . . . . 5
4840, 45, 473eqtr4d 2505 . . . 4
4913, 2, 42, 12lmodvscl 17141 . . . . . . 7
5027, 26, 29, 49syl3anc 1219 . . . . . 6
5113, 41lmodvacl 17138 . . . . . 6
5227, 50, 35, 51syl3anc 1219 . . . . 5
53 fveq2 5813 . . . . . . 7
5453fveq2d 5817 . . . . . 6
55 fvex 5823 . . . . . 6
5654, 20, 55fvmpt 5897 . . . . 5
5752, 56syl 16 . . . 4
58 fveq2 5813 . . . . . . . . 9
5958fveq2d 5817 . . . . . . . 8
60 fvex 5823 . . . . . . . 8
6159, 20, 60fvmpt 5897 . . . . . . 7
6229, 61syl 16 . . . . . 6
6362oveq2d 6238 . . . . 5
64 fveq2 5813 . . . . . . . 8
6564fveq2d 5817 . . . . . . 7
66 fvex 5823 . . . . . . 7
6765, 20, 66fvmpt 5897 . . . . . 6
6835, 67syl 16 . . . . 5
6963, 68oveq12d 6240 . . . 4
7048, 57, 693eqtr4d 2505 . . 3
7170ralrimivvva 2917 . 2
7213, 41, 2, 42, 12, 38, 32, 14islfl 33556 . . 3
731, 72syl 16 . 2
7421, 71, 73mpbir2and 913 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800  e.cmpt 4467  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cbs 14332   cplusg 14397   cmulr 14398   csca 14400   cvsca 14401   cgrp 15569   cminusg 15570   cabel 16439   crg 16821   clmod 17124   clfn 33553
This theorem is referenced by:  ldualgrplem  33641
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-map 7350  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-2 10518  df-ndx 14335  df-slot 14336  df-base 14337  df-sets 14338  df-plusg 14410  df-0g 14539  df-mnd 15574  df-grp 15704  df-minusg 15705  df-cmn 16440  df-abl 16441  df-mgp 16767  df-ur 16779  df-rng 16823  df-lmod 17126  df-lfl 33554
  Copyright terms: Public domain W3C validator