MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limom Unicode version

Theorem limom 6715
Description: Omega is a limit ordinal. Theorem 2.8 of [BellMachover] p. 473. Our proof, however, does not require the Axiom of Infinity. (Contributed by NM, 26-Mar-1995.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
limom

Proof of Theorem limom
StepHypRef Expression
1 ordom 6709 . 2
2 ordeleqon 6624 . . 3
3 ordirr 4901 . . . . . . 7
41, 3ax-mp 5 . . . . . 6
5 elom 6703 . . . . . . 7
65baib 903 . . . . . 6
74, 6mtbii 302 . . . . 5
8 limomss 6705 . . . . . . . . . . 11
9 limord 4942 . . . . . . . . . . . 12
10 ordsseleq 4912 . . . . . . . . . . . 12
111, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
128, 11mpbid 210 . . . . . . . . . 10
1312ord 377 . . . . . . . . 9
14 limeq 4895 . . . . . . . . . 10
1514biimprcd 225 . . . . . . . . 9
1613, 15syld 44 . . . . . . . 8
1716con1d 124 . . . . . . 7
1817com12 31 . . . . . 6
1918alrimiv 1719 . . . . 5
207, 19nsyl2 127 . . . 4
21 limon 6671 . . . . 5
22 limeq 4895 . . . . 5
2321, 22mpbiri 233 . . . 4
2420, 23jaoi 379 . . 3
252, 24sylbi 195 . 2
261, 25ax-mp 5 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  A.wal 1393  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884   com 6700
This theorem is referenced by:  peano2b  6716  ssnlim  6718  peano1  6719  onesuc  7199  oaabslem  7311  oaabs2  7313  omabslem  7314  infensuc  7715  infeq5i  8074  elom3  8086  omenps  8092  omensuc  8093  infdifsn  8094  cardlim  8374  r1om  8645  cfom  8665  ominf4  8713  alephom  8981  wunex3  9140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-om 6701
  Copyright terms: Public domain W3C validator