MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsssuc Unicode version

Theorem limsssuc 6685
Description: A class includes a limit ordinal iff the successor of the class includes it. (Contributed by NM, 30-Oct-2003.)
Assertion
Ref Expression
limsssuc

Proof of Theorem limsssuc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sssucid 4960 . . 3
2 sstr2 3510 . . 3
31, 2mpi 17 . 2
4 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . 12
54biimpcd 224 . . . . . . . . . . 11
6 limsuc 6684 . . . . . . . . . . . . . 14
76biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13
8 limord 4942 . . . . . . . . . . . . . . . 16
98adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
10 ordelord 4905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118, 10sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . 16
12 ordsuc 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1311, 12sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15
14 ordtri1 4916 . . . . . . . . . . . . . . 15
159, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
1615con2bid 329 . . . . . . . . . . . . 13
177, 16mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
1817ex 434 . . . . . . . . . . 11
195, 18sylan9r 658 . . . . . . . . . 10
2019con2d 115 . . . . . . . . 9
2120ex 434 . . . . . . . 8
2221com23 78 . . . . . . 7
2322imp31 432 . . . . . 6
24 ssel2 3498 . . . . . . . . . 10
25 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
2625elsuc 4952 . . . . . . . . . 10
2724, 26sylib 196 . . . . . . . . 9
2827ord 377 . . . . . . . 8
2928con1d 124 . . . . . . 7
3029adantll 713 . . . . . 6
3123, 30mpd 15 . . . . 5
3231ex 434 . . . 4
3332ssrdv 3509 . . 3
3433ex 434 . 2
353, 34impbid2 204 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  C_wss 3475  Ordword 4882  Limwlim 4884  succsuc 4885
This theorem is referenced by:  cardlim  8374
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889
  Copyright terms: Public domain W3C validator