MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsuc Unicode version

Theorem limsuc 6684
Description: The successor of a member of a limit ordinal is also a member. (Contributed by NM, 3-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
limsuc

Proof of Theorem limsuc
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dflim4 6683 . . 3
2 suceq 4948 . . . . . 6
32eleq1d 2526 . . . . 5
43rspccv 3207 . . . 4
543ad2ant3 1019 . . 3
61, 5sylbi 195 . 2
7 limord 4942 . . 3
8 ordtr 4897 . . 3
9 trsuc 4967 . . . 4
109ex 434 . . 3
117, 8, 103syl 20 . 2
126, 11impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807   c0 3784  Trwtr 4545  Ordword 4882  Limwlim 4884  succsuc 4885
This theorem is referenced by:  limsssuc  6685  limuni3  6687  peano2b  6716  rdgsucg  7108  rdgsucmptnf  7114  oesuclem  7194  oaordi  7214  omordi  7234  oeordi  7255  oelim2  7263  limenpsi  7712  r1tr  8215  r1ordg  8217  r1pwss  8223  r1val1  8225  rankdmr1  8240  rankr1bg  8242  pwwf  8246  rankr1c  8260  rankonidlem  8267  ranklim  8283  r1pwcl  8286  rankxplim3  8320  infxpenlem  8412  alephordi  8476  cflm  8651  cfslb2n  8669  alephreg  8978  r1limwun  9135  rankcf  9176  inatsk  9177
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889
  Copyright terms: Public domain W3C validator