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Theorem limsupbnd2 13306
Description: If a sequence is eventually greater than , then the limsup is also greater than . (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupbnd.1
limsupbnd.2
limsupbnd.3
limsupbnd2.4
limsupbnd2.5
Assertion
Ref Expression
limsupbnd2
Distinct variable groups:   , ,   , ,   , ,   , ,

Proof of Theorem limsupbnd2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupbnd2.5 . . 3
2 limsupbnd2.4 . . . . . . . . 9
3 limsupbnd.1 . . . . . . . . . . 11
4 ressxr 9658 . . . . . . . . . . 11
53, 4syl6ss 3515 . . . . . . . . . 10
6 supxrunb1 11540 . . . . . . . . . 10
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9
82, 7mpbird 232 . . . . . . . 8
9 ifcl 3983 . . . . . . . 8
10 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
1110rexbidv 2968 . . . . . . . . 9
1211rspccva 3209 . . . . . . . 8
138, 9, 12syl2an 477 . . . . . . 7
14 r19.29 2992 . . . . . . . 8
15 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
16 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
18 max1 11415 . . . . . . . . . . . . . . 15
1915, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
2017, 15, 9syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
213adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2221sselda 3503 . . . . . . . . . . . . . . 15
23 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . 15
2415, 20, 22, 23syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
2519, 24mpand 675 . . . . . . . . . . . . 13
2625imim1d 75 . . . . . . . . . . . 12
2726impd 431 . . . . . . . . . . 11
28 max2 11417 . . . . . . . . . . . . . . 15
2915, 17, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
30 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . 15
3117, 20, 22, 30syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
3229, 31mpand 675 . . . . . . . . . . . . 13
3332adantld 467 . . . . . . . . . . . 12
34 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3534limsupgf 13298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3635ffvelrni 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
38 xrleid 11385 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
4039adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14
41 limsupbnd.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15
4316, 36syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
4434limsupgle 13300 . . . . . . . . . . . . . . 15
4521, 42, 16, 43, 44syl211anc 1234 . . . . . . . . . . . . . 14
4640, 45mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
4746r19.21bi 2826 . . . . . . . . . . . 12
4833, 47syld 44 . . . . . . . . . . 11
4927, 48jcad 533 . . . . . . . . . 10
50 limsupbnd.3 . . . . . . . . . . . 12
5150ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
5242ffvelrnda 6031 . . . . . . . . . . 11
5343adantr 465 . . . . . . . . . . 11
54 xrletr 11390 . . . . . . . . . . 11
5551, 52, 53, 54syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
5649, 55syld 44 . . . . . . . . 9
5756rexlimdva 2949 . . . . . . . 8
5814, 57syl5 32 . . . . . . 7
5913, 58mpan2d 674 . . . . . 6
6059anassrs 648 . . . . 5
6160rexlimdva 2949 . . . 4
6261ralrimdva 2875 . . 3
631, 62mpd 15 . 2
6434limsuple 13301 . . 3
653, 41, 50, 64syl3anc 1228 . 2
6663, 65mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  "cima 5007  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cico 11560   clsp 13293
This theorem is referenced by:  caucvgrlem  13495  limsupre  31647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-ico 11564  df-limsup 13294
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