Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupgle Unicode version

Theorem limsupgle 13300
 Description: The defining property of the superior limit function. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 7-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
limsupval.1
Assertion
Ref Expression
limsupgle
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,,   ,,

Proof of Theorem limsupgle
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupval.1 . . . . 5
21limsupgval 13299 . . . 4
43breq1d 4462 . 2
5 inss2 3718 . . 3
6 simp3 998 . . 3
7 supxrleub 11547 . . 3
85, 6, 7sylancr 663 . 2
9 imassrn 5353 . . . . . . 7
10 simp1r 1021 . . . . . . . 8
11 frn 5742 . . . . . . . 8
1210, 11syl 16 . . . . . . 7
139, 12syl5ss 3514 . . . . . 6
14 df-ss 3489 . . . . . 6
1513, 14sylib 196 . . . . 5
16 imadmres 5504 . . . . 5
1715, 16syl6eqr 2516 . . . 4
1817raleqdv 3060 . . 3
19 ffn 5736 . . . . 5
2010, 19syl 16 . . . 4
21 fdm 5740 . . . . . . . 8
2210, 21syl 16 . . . . . . 7
2322ineq2d 3699 . . . . . 6
24 dmres 5299 . . . . . 6
25 incom 3690 . . . . . 6
2623, 24, 253eqtr4g 2523 . . . . 5
27 inss1 3717 . . . . 5
2826, 27syl6eqss 3553 . . . 4
29 breq1 4455 . . . . 5
3029ralima 6152 . . . 4
3120, 28, 30syl2anc 661 . . 3
3226eleq2d 2527 . . . . . . . 8
33 elin 3686 . . . . . . . 8
3432, 33syl6bb 261 . . . . . . 7
35 simpl2 1000 . . . . . . . . 9
36 simp1l 1020 . . . . . . . . . 10
3736sselda 3503 . . . . . . . . 9
38 elicopnf 11649 . . . . . . . . . 10
3938baibd 909 . . . . . . . . 9
4035, 37, 39syl2anc 661 . . . . . . . 8
4140pm5.32da 641 . . . . . . 7
4234, 41bitrd 253 . . . . . 6
4342imbi1d 317 . . . . 5
44 impexp 446 . . . . 5
4543, 44syl6bb 261 . . . 4
4645ralbidv2 2892 . . 3
4718, 31, 463bitrd 279 . 2
484, 8, 473bitrd 279 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  rancrn 5005  |cres 5006  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cico 11560 This theorem is referenced by:  limsupgre  13304  limsupbnd1  13305  limsupbnd2  13306  mbflimsup  22073 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-ico 11564
 Copyright terms: Public domain W3C validator