MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limsupval2 Unicode version

Theorem limsupval2 13303
Description: The superior limit, relativized to an unbounded set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupval.1
limsupval2.1
limsupval2.2
limsupval2.3
Assertion
Ref Expression
limsupval2
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem limsupval2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupval2.1 . . 3
2 limsupval.1 . . . 4
32limsupval 13297 . . 3
41, 3syl 16 . 2
5 imassrn 5353 . . . . 5
62limsupgf 13298 . . . . . . 7
7 frn 5742 . . . . . . 7
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6
9 infmxrlb 11554 . . . . . . 7
109ralrimiva 2871 . . . . . 6
118, 10mp1i 12 . . . . 5
12 ssralv 3563 . . . . 5
135, 11, 12mpsyl 63 . . . 4
145, 8sstri 3512 . . . . 5
15 infmxrcl 11537 . . . . . 6
168, 15ax-mp 5 . . . . 5
17 infmxrgelb 11555 . . . . 5
1814, 16, 17mp2an 672 . . . 4
1913, 18sylibr 212 . . 3
20 limsupval2.3 . . . . . . 7
21 limsupval2.2 . . . . . . . . 9
22 ressxr 9658 . . . . . . . . 9
2321, 22syl6ss 3515 . . . . . . . 8
24 supxrunb1 11540 . . . . . . . 8
2523, 24syl 16 . . . . . . 7
2620, 25mpbird 232 . . . . . 6
27 infmxrcl 11537 . . . . . . . . . 10
2814, 27mp1i 12 . . . . . . . . 9
2921sselda 3503 . . . . . . . . . . 11
3029ad2ant2r 746 . . . . . . . . . 10
316ffvelrni 6030 . . . . . . . . . 10
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9
336ffvelrni 6030 . . . . . . . . . 10
3433ad2antlr 726 . . . . . . . . 9
35 ffn 5736 . . . . . . . . . . . 12
366, 35mp1i 12 . . . . . . . . . . 11
3721ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
38 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
39 fnfvima 6150 . . . . . . . . . . 11
4036, 37, 38, 39syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
41 infmxrlb 11554 . . . . . . . . . 10
4214, 40, 41sylancr 663 . . . . . . . . 9
43 simplr 755 . . . . . . . . . . 11
44 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
45 limsupgord 13295 . . . . . . . . . . 11
4643, 30, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10
472limsupgval 13299 . . . . . . . . . . 11
4830, 47syl 16 . . . . . . . . . 10
492limsupgval 13299 . . . . . . . . . . 11
5049ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10
5146, 48, 503brtr4d 4482 . . . . . . . . 9
5228, 32, 34, 42, 51xrletrd 11394 . . . . . . . 8
5352rexlimdvaa 2950 . . . . . . 7
5453ralimdva 2865 . . . . . 6
5526, 54mpd 15 . . . . 5
566, 35ax-mp 5 . . . . . 6
57 breq2 4456 . . . . . . 7
5857ralrn 6034 . . . . . 6
5956, 58ax-mp 5 . . . . 5
6055, 59sylibr 212 . . . 4
6114, 27ax-mp 5 . . . . 5
62 infmxrgelb 11555 . . . . 5
638, 61, 62mp2an 672 . . . 4
6460, 63sylibr 212 . . 3
65 xrletri3 11387 . . . 4
6616, 61, 65mp2an 672 . . 3
6719, 64, 66sylanbrc 664 . 2
684, 67eqtrd 2498 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  rancrn 5005  "cima 5007  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  supcsup 7920   cr 9512   cpnf 9646   cxr 9648   clt 9649   cle 9650   cico 11560   clsp 13293
This theorem is referenced by:  mbflimsup  22073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590  ax-pre-sup 9591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-sup 7921  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-ico 11564  df-limsup 13294
  Copyright terms: Public domain W3C validator