MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  limuni3 Unicode version

Theorem limuni3 6687
Description: The union of a nonempty class of limit ordinals is a limit ordinal. (Contributed by NM, 1-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
limuni3
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem limuni3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limeq 4895 . . . . . . 7
21rspcv 3206 . . . . . 6
3 vex 3112 . . . . . . 7
4 limelon 4946 . . . . . . 7
53, 4mpan 670 . . . . . 6
62, 5syl6com 35 . . . . 5
76ssrdv 3509 . . . 4
8 ssorduni 6621 . . . 4
97, 8syl 16 . . 3
109adantl 466 . 2
11 n0 3794 . . . 4
12 0ellim 4945 . . . . . . 7
13 elunii 4254 . . . . . . . 8
1413expcom 435 . . . . . . 7
1512, 14syl5 32 . . . . . 6
162, 15syld 44 . . . . 5
1716exlimiv 1722 . . . 4
1811, 17sylbi 195 . . 3
1918imp 429 . 2
20 eluni2 4253 . . . . 5
211rspccv 3207 . . . . . . 7
22 limsuc 6684 . . . . . . . . . . 11
2322anbi1d 704 . . . . . . . . . 10
24 elunii 4254 . . . . . . . . . 10
2523, 24syl6bi 228 . . . . . . . . 9
2625expd 436 . . . . . . . 8
2726com3r 79 . . . . . . 7
2821, 27sylcom 29 . . . . . 6
2928rexlimdv 2947 . . . . 5
3020, 29syl5bi 217 . . . 4
3130ralrimiv 2869 . . 3
3231adantl 466 . 2
33 dflim4 6683 . 2
3410, 19, 32, 33syl3anbrc 1180 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  A.wral 2807  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784  U.cuni 4249  Ordword 4882   con0 4883  Limwlim 4884  succsuc 4885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889
  Copyright terms: Public domain W3C validator