MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lincmb01cmp Unicode version

Theorem lincmb01cmp 11692
Description: A linear combination of two reals which lies in the interval between them. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lincmb01cmp

Proof of Theorem lincmb01cmp
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . 5
2 0re 9617 . . . . . . 7
32a1i 11 . . . . . 6
4 1re 9616 . . . . . . 7
54a1i 11 . . . . . 6
62, 4elicc2i 11619 . . . . . . . 8
76simp1bi 1011 . . . . . . 7
87adantl 466 . . . . . 6
9 difrp 11282 . . . . . . . 8
109biimp3a 1328 . . . . . . 7
1110adantr 465 . . . . . 6
12 eqid 2457 . . . . . . 7
13 eqid 2457 . . . . . . 7
1412, 13iccdil 11687 . . . . . 6
153, 5, 8, 11, 14syl22anc 1229 . . . . 5
161, 15mpbid 210 . . . 4
17 simpl2 1000 . . . . . . . 8
18 simpl1 999 . . . . . . . 8
1917, 18resubcld 10012 . . . . . . 7
2019recnd 9643 . . . . . 6
2120mul02d 9799 . . . . 5
2220mulid2d 9635 . . . . 5
2321, 22oveq12d 6314 . . . 4
2416, 23eleqtrd 2547 . . 3
258, 19remulcld 9645 . . . 4
26 eqid 2457 . . . . 5
27 eqid 2457 . . . . 5
2826, 27iccshftr 11683 . . . 4
293, 19, 25, 18, 28syl22anc 1229 . . 3
3024, 29mpbid 210 . 2
318recnd 9643 . . . . 5
3217recnd 9643 . . . . 5
3331, 32mulcld 9637 . . . 4
3418recnd 9643 . . . . 5
3531, 34mulcld 9637 . . . 4
3633, 35, 34subadd23d 9976 . . 3
3731, 32, 34subdid 10037 . . . 4
3837oveq1d 6311 . . 3
39 resubcl 9906 . . . . . . . 8
404, 8, 39sylancr 663 . . . . . . 7
4140, 18remulcld 9645 . . . . . 6
4241recnd 9643 . . . . 5
4342, 33addcomd 9803 . . . 4
44 1cnd 9633 . . . . . . 7
4544, 31, 34subdird 10038 . . . . . 6
4634mulid2d 9635 . . . . . . 7
4746oveq1d 6311 . . . . . 6
4845, 47eqtrd 2498 . . . . 5
4948oveq2d 6312 . . . 4
5043, 49eqtrd 2498 . . 3
5136, 38, 503eqtr4d 2508 . 2
5234addid2d 9802 . . 3
5332, 34npcand 9958 . . 3
5452, 53oveq12d 6314 . 2
5530, 51, 543eltr3d 2559 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   caddc 9516   cmul 9518   clt 9649   cle 9650   cmin 9828   crp 11249   cicc 11561
This theorem is referenced by:  iccf1o  11693  icccvx  21450  efcvx  22844  logccv  23044  cvxcl  23314
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-rp 11250  df-icc 11565
  Copyright terms: Public domain W3C validator