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Theorem llycmpkgen2 19522
Description: A locally compact space is compactly generated. (This variant of llycmpkgen 19524 uses the weaker definition of locally compact, "every point has a compact neighborhood", instead of "every point has a local base of compact neighborhoods".) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iskgen3.1
llycmpkgen2.2
llycmpkgen2.3
Assertion
Ref Expression
llycmpkgen2
Distinct variable groups:   , ,J   , ,   ,

Proof of Theorem llycmpkgen2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 llycmpkgen2.2 . 2
2 elssuni 4238 . . . . . . . . . . 11
32adantl 466 . . . . . . . . . 10
4 iskgen3.1 . . . . . . . . . . . . 13
54kgenuni 19511 . . . . . . . . . . . 12
61, 5syl 16 . . . . . . . . . . 11
76adantr 465 . . . . . . . . . 10
83, 7sseqtr4d 3507 . . . . . . . . 9
98sselda 3470 . . . . . . . 8
10 llycmpkgen2.3 . . . . . . . . 9
1110adantlr 714 . . . . . . . 8
129, 11syldan 470 . . . . . . 7
131ad3antrrr 729 . . . . . . . . 9
14 difss 3597 . . . . . . . . . 10
154ntropn 19052 . . . . . . . . . 10
1613, 14, 15sylancl 662 . . . . . . . . 9
17 simprl 755 . . . . . . . . . . 11
184neii1 19109 . . . . . . . . . . 11
1913, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
204ntropn 19052 . . . . . . . . . 10
2113, 19, 20syl2anc 661 . . . . . . . . 9
22 inopn 18911 . . . . . . . . 9
2313, 16, 21, 22syl3anc 1219 . . . . . . . 8
24 inss1 3684 . . . . . . . . . . 11
25 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13
264ntrss2 19060 . . . . . . . . . . . . . . 15
2713, 19, 26syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
289adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2928snssd 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
304neiint 19107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3113, 29, 19, 30syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3217, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3433snss 4116 . . . . . . . . . . . . . . 15
3532, 34sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14
3627, 35sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . 13
3725, 36elind 3654 . . . . . . . . . . . 12
38 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 kgeni 19509 . . . . . . . . . . . . . . 15
4138, 39, 40syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
42 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . . 16
43 resttop 19163 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4413, 42, 43sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15
45 inss2 3685 . . . . . . . . . . . . . . . 16
464restuni 19165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4713, 19, 46syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4845, 47syl5sseq 3518 . . . . . . . . . . . . . . 15
49 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5049isopn3 19069 . . . . . . . . . . . . . . 15
5144, 48, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
5241, 51mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
5345a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
54 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15
554, 54restntr 19185 . . . . . . . . . . . . . 14
5613, 19, 53, 55syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13
5752, 56eqtr3d 2497 . . . . . . . . . . . 12
5837, 57eleqtrd 2544 . . . . . . . . . . 11
5924, 58sseldi 3468 . . . . . . . . . 10
60 undif3 3725 . . . . . . . . . . . . 13
61 incom 3657 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6261difeq2i 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 difin 3701 . . . . . . . . . . . . . . 15
6462, 63eqtri 2483 . . . . . . . . . . . . . 14
6564difeq2i 3585 . . . . . . . . . . . . 13
6660, 65eqtri 2483 . . . . . . . . . . . 12
6745, 19syl5ss 3481 . . . . . . . . . . . . . 14
68 ssequn1 3640 . . . . . . . . . . . . . 14
6967, 68sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
7069difeq1d 3587 . . . . . . . . . . . 12
7166, 70syl5eq 2507 . . . . . . . . . . 11
7271fveq2d 5817 . . . . . . . . . 10
7359, 72eleqtrd 2544 . . . . . . . . 9
7473, 35elind 3654 . . . . . . . 8
75 sslin 3690 . . . . . . . . . 10
7627, 75syl 16 . . . . . . . . 9
774ntrss2 19060 . . . . . . . . . . . 12
7813, 14, 77sylancl 662 . . . . . . . . . . 11
7978difss2d 3600 . . . . . . . . . . . 12
80 reldisj 3836 . . . . . . . . . . . 12
8179, 80syl 16 . . . . . . . . . . 11
8278, 81mpbird 232 . . . . . . . . . 10
83 inssdif0 3860 . . . . . . . . . 10
8482, 83sylibr 212 . . . . . . . . 9
8576, 84sstrd 3480 . . . . . . . 8
86 eleq2 2527 . . . . . . . . . 10
87 sseq1 3491 . . . . . . . . . 10
8886, 87anbi12d 710 . . . . . . . . 9
8988rspcev 3182 . . . . . . . 8
9023, 74, 85, 89syl12anc 1217 . . . . . . 7
9112, 90rexlimddv 2954 . . . . . 6
9291ralrimiva 2831 . . . . 5
9392ex 434 . . . 4
94 eltop2 18979 . . . . 5
951, 94syl 16 . . . 4
9693, 95sylibrd 234 . . 3
9796ssrdv 3476 . 2
98 iskgen2 19520 . 2
991, 97, 98sylanbrc 664 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800  E.wrex 2801   cvv 3081  \cdif 3439  u.cun 3440  i^icin 3441  C_wss 3442   c0 3751  {csn 3993  U.cuni 4208  rancrn 4958  `cfv 5537  (class class class)co 6222   crest 14518   ctop 18897   cnt 19020   cnei 19100   ccmp 19388   ckgen 19505
This theorem is referenced by:  cmpkgen  19523  llycmpkgen  19524
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-int 4246  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-oadd 7058  df-er 7235  df-en 7445  df-fin 7448  df-fi 7797  df-rest 14520  df-topgen 14541  df-top 18902  df-bases 18904  df-topon 18905  df-ntr 19023  df-nei 19101  df-cmp 19389  df-kgen 19506
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