MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmflf Unicode version

Theorem lmflf 19282
Description: The topological limit relation on functions can be written in terms of the filter limit along the filter generated by the upper integer sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmflf.1
lmflf.2
Assertion
Ref Expression
lmflf

Proof of Theorem lmflf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 10809 . . . . . . . 8
2 ffn 5529 . . . . . . . 8
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7
4 lmflf.1 . . . . . . . 8
5 uzssz 10825 . . . . . . . 8
64, 5eqsstri 3363 . . . . . . 7
7 imaeq2 5137 . . . . . . . . 9
87sseq1d 3360 . . . . . . . 8
98rexima 5924 . . . . . . 7
103, 6, 9mp2an 657 . . . . . 6
11 simpl3 978 . . . . . . . . 9
12 ffun 5531 . . . . . . . . 9
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8
14 uzss 10826 . . . . . . . . . . 11
1514, 4eleq2s 2514 . . . . . . . . . 10
1615adantl 456 . . . . . . . . 9
17 fdm 5533 . . . . . . . . . . 11
1811, 17syl 16 . . . . . . . . . 10
1918, 4syl6eq 2470 . . . . . . . . 9
2016, 19sseqtr4d 3370 . . . . . . . 8
21 funimass4 5712 . . . . . . . 8
2213, 20, 21syl2anc 646 . . . . . . 7
2322rexbidva 2711 . . . . . 6
2410, 23syl5rbb 252 . . . . 5
2524imbi2d 310 . . . 4
2625ralbidv 2714 . . 3
2726anbi2d 688 . 2
28 simp1 973 . . 3
29 simp2 974 . . 3
30 simp3 975 . . 3
31 eqidd 2423 . . 3
3228, 4, 29, 30, 31lmbrf 18568 . 2
334uzfbas 19175 . . 3
34 lmflf.2 . . . 4
3534flffbas 19272 . . 3
3633, 35syl3an2 1237 . 2
3727, 32, 363bitr4d 279 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694  E.wrex 2695  C_wss 3305  ~Pcpw 3837   class class class wbr 4267  domcdm 4811  "cima 4814  Funwfun 5384  Fnwfn 5385  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cz 10591   cuz 10806   cfbas 17514   cfg 17515   ctopon 18203   clm 18534   cflf 19212
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  20499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-map 7177  df-pm 7178  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-z 10592  df-uz 10807  df-rest 14301  df-fbas 17524  df-fg 17525  df-top 18207  df-topon 18210  df-ntr 18328  df-nei 18406  df-lm 18537  df-fil 19123  df-fm 19215  df-flim 19216  df-flf 19217
  Copyright terms: Public domain W3C validator