MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmflf Unicode version

Theorem lmflf 19977
Description: The topological limit relation on functions can be written in terms of the filter limit along the filter generated by the upper integer sets. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmflf.1
lmflf.2
Assertion
Ref Expression
lmflf

Proof of Theorem lmflf
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzf 11003 . . . . . . . 8
2 ffn 5679 . . . . . . . 8
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7
4 lmflf.1 . . . . . . . 8
5 uzssz 11019 . . . . . . . 8
64, 5eqsstri 3500 . . . . . . 7
7 imaeq2 5284 . . . . . . . . 9
87sseq1d 3497 . . . . . . . 8
98rexima 6081 . . . . . . 7
103, 6, 9mp2an 672 . . . . . 6
11 simpl3 993 . . . . . . . . 9
12 ffun 5681 . . . . . . . . 9
1311, 12syl 16 . . . . . . . 8
14 uzss 11020 . . . . . . . . . . 11
1514, 4eleq2s 2562 . . . . . . . . . 10
1615adantl 466 . . . . . . . . 9
17 fdm 5683 . . . . . . . . . . 11
1811, 17syl 16 . . . . . . . . . 10
1918, 4syl6eq 2511 . . . . . . . . 9
2016, 19sseqtr4d 3507 . . . . . . . 8
21 funimass4 5865 . . . . . . . 8
2213, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . 7
2322rexbidva 2872 . . . . . 6
2410, 23syl5rbb 258 . . . . 5
2524imbi2d 316 . . . 4
2625ralbidv 2847 . . 3
2726anbi2d 703 . 2
28 simp1 988 . . 3
29 simp2 989 . . 3
30 simp3 990 . . 3
31 eqidd 2455 . . 3
3228, 4, 29, 30, 31lmbrf 19263 . 2
334uzfbas 19870 . . 3
34 lmflf.2 . . . 4
3534flffbas 19967 . . 3
3633, 35syl3an2 1253 . 2
3727, 32, 363bitr4d 285 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800  E.wrex 2801  C_wss 3442  ~Pcpw 3976   class class class wbr 4409  domcdm 4957  "cima 4960  Funwfun 5531  Fnwfn 5532  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222   cz 10784   cuz 11000   cfbas 17997   cfg 17998   ctopon 18898   clm 19229   cflf 19907
This theorem is referenced by:  cmetcaulem  21198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-cnex 9475  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-tr 4503  df-eprel 4749  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-ord 4839  df-on 4840  df-lim 4841  df-suc 4842  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-om 6610  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-recs 6966  df-rdg 7000  df-er 7235  df-map 7350  df-pm 7351  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-nn 10461  df-z 10785  df-uz 11001  df-rest 14520  df-fbas 18007  df-fg 18008  df-top 18902  df-topon 18905  df-ntr 19023  df-nei 19101  df-lm 19232  df-fil 19818  df-fm 19910  df-flim 19911  df-flf 19912
  Copyright terms: Public domain W3C validator