MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsinv2 Unicode version

Theorem lmodvsinv2 16927
Description: Multiplying a negated vector by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsinv2.b
lmodvsinv2.f
lmodvsinv2.s
lmodvsinv2.n
lmodvsinv2.k
Assertion
Ref Expression
lmodvsinv2

Proof of Theorem lmodvsinv2
StepHypRef Expression
1 simp1 973 . . . . . . 7
2 lmodgrp 16768 . . . . . . 7
31, 2syl 16 . . . . . 6
4 simp3 975 . . . . . 6
5 lmodvsinv2.b . . . . . . 7
6 eqid 2422 . . . . . . 7
7 eqid 2422 . . . . . . 7
8 lmodvsinv2.n . . . . . . 7
95, 6, 7, 8grprinv 15522 . . . . . 6
103, 4, 9syl2anc 646 . . . . 5
1110oveq2d 6077 . . . 4
12 simp2 974 . . . . 5
135, 8grpinvcl 15520 . . . . . 6
143, 4, 13syl2anc 646 . . . . 5
15 lmodvsinv2.f . . . . . 6
16 lmodvsinv2.s . . . . . 6
17 lmodvsinv2.k . . . . . 6
185, 6, 15, 16, 17lmodvsdi 16784 . . . . 5
191, 12, 4, 14, 18syl13anc 1205 . . . 4
2015, 16, 17, 7lmodvs0 16795 . . . . 5
211, 12, 20syl2anc 646 . . . 4
2211, 19, 213eqtr3d 2462 . . 3
235, 15, 16, 17lmodvscl 16778 . . . 4
245, 15, 16, 17lmodvscl 16778 . . . . 5
251, 12, 14, 24syl3anc 1203 . . . 4
265, 6, 7, 8grpinvid1 15523 . . . 4
273, 23, 25, 26syl3anc 1203 . . 3
2822, 27mpbird 226 . 2
2928eqcomd 2427 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  `cfv 5390  (class class class)co 6061   cbs 14114   cplusg 14178   csca 14181   cvsca 14182   c0g 14318   cgrp 15350   cminusg 15351   clmod 16761
This theorem is referenced by:  invlmhm  16932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-rep 4378  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342  ax-cnex 9284  ax-resscn 9285  ax-1cn 9286  ax-icn 9287  ax-addcl 9288  ax-addrcl 9289  ax-mulcl 9290  ax-mulrcl 9291  ax-mulcom 9292  ax-addass 9293  ax-mulass 9294  ax-distr 9295  ax-i2m1 9296  ax-1ne0 9297  ax-1rid 9298  ax-rnegex 9299  ax-rrecex 9300  ax-cnre 9301  ax-pre-lttri 9302  ax-pre-lttrn 9303  ax-pre-ltadd 9304  ax-pre-mulgt0 9305
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3or 951  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-nel 2588  df-ral 2699  df-rex 2700  df-reu 2701  df-rmo 2702  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-pss 3321  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-tp 3861  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-tr 4361  df-eprel 4603  df-id 4607  df-po 4612  df-so 4613  df-fr 4650  df-we 4652  df-ord 4693  df-on 4694  df-lim 4695  df-suc 4696  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-riota 6020  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-om 6447  df-recs 6791  df-rdg 6825  df-er 7062  df-en 7270  df-dom 7271  df-sdom 7272  df-pnf 9366  df-mnf 9367  df-xr 9368  df-ltxr 9369  df-le 9370  df-sub 9543  df-neg 9544  df-nn 10269  df-2 10326  df-ndx 14117  df-slot 14118  df-base 14119  df-sets 14120  df-plusg 14191  df-0g 14320  df-mnd 15355  df-grp 15482  df-minusg 15483  df-mgp 16458  df-rng 16472  df-lmod 16763
  Copyright terms: Public domain W3C validator