MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1add Unicode version

Theorem lo1add 13449
Description: The sum of two eventually upper bounded functions is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1
o1add2.2
lo1add.3
lo1add.4
Assertion
Ref Expression
lo1add
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem lo1add
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2
2 lo1add.4 . 2
3 reeanv 3025 . . . 4
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11
54ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10
6 dmmptg 5509 . . . . . . . . . 10
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9
8 lo1dm 13342 . . . . . . . . . 10
91, 8syl 16 . . . . . . . . 9
107, 9eqsstr3d 3538 . . . . . . . 8
1110adantr 465 . . . . . . 7
12 rexanre 13179 . . . . . . 7
1311, 12syl 16 . . . . . 6
14 readdcl 9596 . . . . . . . . 9
1514adantl 466 . . . . . . . 8
164, 1lo1mptrcl 13444 . . . . . . . . . . . 12
1716adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
18 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . 13
1918, 2lo1mptrcl 13444 . . . . . . . . . . . 12
2019adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
21 simplrl 761 . . . . . . . . . . 11
22 simplrr 762 . . . . . . . . . . 11
23 le2add 10059 . . . . . . . . . . 11
2417, 20, 21, 22, 23syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
2524imim2d 52 . . . . . . . . 9
2625ralimdva 2865 . . . . . . . 8
27 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
2827imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
2928ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
3029rspcev 3210 . . . . . . . 8
3115, 26, 30syl6an 545 . . . . . . 7
3231reximdv 2931 . . . . . 6
3313, 32sylbird 235 . . . . 5
3433rexlimdvva 2956 . . . 4
353, 34syl5bir 218 . . 3
3610, 16ello1mpt 13344 . . . . 5
37 rexcom 3019 . . . . 5
3836, 37syl6bb 261 . . . 4
3910, 19ello1mpt 13344 . . . . 5
40 rexcom 3019 . . . . 5
4139, 40syl6bb 261 . . . 4
4238, 41anbi12d 710 . . 3
4316, 19readdcld 9644 . . . 4
4410, 43ello1mpt 13344 . . 3
4535, 42, 443imtr4d 268 . 2
461, 2, 45mp2and 679 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  (class class class)co 6296   cr 9512   caddc 9516   cle 9650   clo1 13310
This theorem is referenced by:  lo1sub  13453  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem5  23766  pntrlog2bndlem6  23768
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-lo1 13314
  Copyright terms: Public domain W3C validator