Theorem lo1bdd2 13347

Description: If an eventually bounded function is bounded on every interval Ai^i(,) by a function M(), then the function is bounded on the whole domain. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1bdd2.1
lo1bdd2.2
lo1bdd2.3
lo1bdd2.4
lo1bdd2.5
lo1bdd2.6

Assertion

Ref	Expression
lo1bdd2

Distinct variable groups:   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,M,

Proof of Theorem lo1bdd2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1bdd2.4	. . 3
2		lo1bdd2.1	. . . 4
3		lo1bdd2.3	. . . 4
4		lo1bdd2.2	. . . 4
5	2, 3, 4	ello1mpt2 13345	. . 3
6	1, 5	mpbid 210	. 2
7		elicopnf 11649	. . . . . . . . . . 11
8	4, 7	syl 16	. . . . . . . . . 10
9	8	biimpa 484	. . . . . . . . 9
10		lo1bdd2.5	. . . . . . . . 9
11	9, 10	syldan 470	. . . . . . . 8
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . 7
13		simplrl 761	. . . . . . 7
14	12, 13	ifclda 3973	. . . . . 6
15	2	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12
16	15	sselda 3503	. . . . . . . . . . 11
17	9	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11
19	16, 18	ltnled 9753	. . . . . . . . . 10
20		lo1bdd2.6	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	20	expr 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	21	an32s 804	. . . . . . . . . . . . . . 15
23	22	ex 434	. . . . . . . . . . . . . 14
24	9, 23	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13
25	24	imp 429	. . . . . . . . . . . 12
26	25	adantlr 714	. . . . . . . . . . 11
27		simplr 755	. . . . . . . . . . . . 13
28	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13
29		max2 11417	. . . . . . . . . . . . 13
30	27, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12
31		simpll 753	. . . . . . . . . . . . . 14
32	31, 3	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13
33	11	ad3antrrr 729	. . . . . . . . . . . . . 14
34		simpllr 760	. . . . . . . . . . . . . 14
35	33, 34	ifclda 3973	. . . . . . . . . . . . 13
36		letr 9699	. . . . . . . . . . . . 13
37	32, 28, 35, 36	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12
38	30, 37	mpan2d 674	. . . . . . . . . . 11
39	26, 38	syld 44	. . . . . . . . . 10
40	19, 39	sylbird 235	. . . . . . . . 9
41		max1 11415	. . . . . . . . . . 11
42	27, 28, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
43		letr 9699	. . . . . . . . . . 11
44	32, 27, 35, 43	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10
45	42, 44	mpan2d 674	. . . . . . . . 9
46	40, 45	jad 162	. . . . . . . 8
47	46	ralimdva 2865	. . . . . . 7
48	47	impr 619	. . . . . 6
49		breq2 4456	. . . . . . . 8
50	49	ralbidv 2896	. . . . . . 7
51	50	rspcev 3210	. . . . . 6
52	14, 48, 51	syl2anc 661	. . . . 5
53	52	expr 615	. . . 4
54	53	rexlimdva 2949	. . 3
55	54	rexlimdva 2949	. 2
56	6, 55	mpd 15	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  (class class class)co 6296  cr 9512  cpnf 9646  clt 9649  cle 9650  cico 11560  clo1 13310

This theorem is referenced by:  lo1bddrp  13348  o1bdd2  13364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-lo1 13314