Theorem lo1eq 13391

Description: Two functions that are eventually equal to one another are eventually bounded if one of them is. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
lo1eq.1
lo1eq.2
lo1eq.3
lo1eq.4

Assertion

Ref	Expression
lo1eq

Distinct variable groups:   ,   ,   ,

Proof of Theorem lo1eq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lo1dm 13342	. . 3
2		eqid 2457	. . . . 5
3		lo1eq.1	. . . . 5
4	2, 3	dmmptd 5716	. . . 4
5	4	sseq1d 3530	. . 3
6	1, 5	syl5ib 219	. 2
7		lo1dm 13342	. . 3
8		eqid 2457	. . . . 5
9		lo1eq.2	. . . . 5
10	8, 9	dmmptd 5716	. . . 4
11	10	sseq1d 3530	. . 3
12	7, 11	syl5ib 219	. 2
13		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14
14		elin 3686	. . . . . . . . . . . . . 14
15	13, 14	sylib 196	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12
17	15	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . 14
18		lo1eq.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16
19		elicopnf 11649	. . . . . . . . . . . . . . . 16
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
21	20	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . 14
22	17, 21	syldan 470	. . . . . . . . . . . . 13
23	22	simprd 463	. . . . . . . . . . . 12
24	16, 23	jca 532	. . . . . . . . . . 11
25		lo1eq.4	. . . . . . . . . . 11
26	24, 25	syldan 470	. . . . . . . . . 10
27	26	mpteq2dva 4538	. . . . . . . . 9
28		inss1 3717	. . . . . . . . . 10
29		resmpt 5328	. . . . . . . . . 10
30	28, 29	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
31		resmpt 5328	. . . . . . . . . 10
32	28, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . 9
33	27, 30, 32	3eqtr4g 2523	. . . . . . . 8
34		resres 5291	. . . . . . . 8
35		resres 5291	. . . . . . . 8
36	33, 34, 35	3eqtr4g 2523	. . . . . . 7
37		ssid 3522	. . . . . . . 8
38		resmpt 5328	. . . . . . . 8
39		reseq1 5272	. . . . . . . 8
40	37, 38, 39	mp2b 10	. . . . . . 7
41		resmpt 5328	. . . . . . . 8
42		reseq1 5272	. . . . . . . 8
43	37, 41, 42	mp2b 10	. . . . . . 7
44	36, 40, 43	3eqtr3g 2521	. . . . . 6
45	44	eleq1d 2526	. . . . 5
46	45	adantr 465	. . . 4
47	3, 2	fmptd 6055	. . . . . 6
48	47	adantr 465	. . . . 5
49		simpr 461	. . . . 5
50	18	adantr 465	. . . . 5
51	48, 49, 50	lo1resb 13387	. . . 4
52	9, 8	fmptd 6055	. . . . . 6
53	52	adantr 465	. . . . 5
54	53, 49, 50	lo1resb 13387	. . . 4
55	46, 51, 54	3bitr4d 285	. . 3
56	55	ex 434	. 2
57	6, 12, 56	pm5.21ndd 354	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  |`cres 5006  -->wf 5589  (class class class)co 6296  cr 9512  cpnf 9646  cle 9650  cico 11560  clo1 13310

This theorem is referenced by:  o1eq  13393

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-lo1 13314