MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1le Unicode version

Theorem lo1le 13474
Description: Transfer eventual upper boundedness from a larger function to a smaller function. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lo1le.1
lo1le.2
lo1le.3
lo1le.4
lo1le.5
Assertion
Ref Expression
lo1le
Distinct variable groups:   ,   ,M   ,

Proof of Theorem lo1le
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1le.2 . 2
2 simpr 461 . . . . . 6
3 lo1le.1 . . . . . . 7
43adantr 465 . . . . . 6
52, 4ifcld 3984 . . . . 5
63ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
7 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
8 lo1le.3 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
98ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10 dmmptg 5509 . . . . . . . . . . . . . . . 16
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 lo1dm 13342 . . . . . . . . . . . . . . . 16
131, 12syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
1411, 13eqsstr3d 3538 . . . . . . . . . . . . . 14
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
16 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13
1715, 16sseldd 3504 . . . . . . . . . . . 12
18 maxle 11420 . . . . . . . . . . . 12
196, 7, 17, 18syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
20 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl6bi 228 . . . . . . . . . 10
2221imim1d 75 . . . . . . . . 9
23 lo1le.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2423adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15
2524adantrll 721 . . . . . . . . . . . . . 14
26 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
27 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
28 lo1le.4 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2926, 27, 28syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
308, 1lo1mptrcl 13444 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3126, 27, 30syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . 15
32 simprll 763 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 letr 9699 . . . . . . . . . . . . . . 15
3429, 31, 32, 33syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14
3525, 34mpand 675 . . . . . . . . . . . . 13
3635expr 615 . . . . . . . . . . . 12
3736adantrd 468 . . . . . . . . . . 11
3819, 37sylbid 215 . . . . . . . . . 10
3938a2d 26 . . . . . . . . 9
4022, 39syld 44 . . . . . . . 8
4140anassrs 648 . . . . . . 7
4241ralimdva 2865 . . . . . 6
4342reximdva 2932 . . . . 5
44 breq1 4455 . . . . . . . 8
4544imbi1d 317 . . . . . . 7
4645rexralbidv 2976 . . . . . 6
4746rspcev 3210 . . . . 5
485, 43, 47syl6an 545 . . . 4
4948rexlimdva 2949 . . 3
5014, 30ello1mpt 13344 . . 3
5114, 28ello1mpt 13344 . . 3
5249, 50, 513imtr4d 268 . 2
531, 52mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004   cr 9512   cle 9650   clo1 13310
This theorem is referenced by:  o1le  13475  vmalogdivsum2  23723  pntrlog2bndlem1  23762  pntrlog2bndlem5  23766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-lo1 13314
  Copyright terms: Public domain W3C validator