MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1mul Unicode version

Theorem lo1mul 13450
Description: The product of an eventually upper bounded function and a positive eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 26-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
o1add2.1
o1add2.2
lo1add.3
lo1add.4
lo1mul.5
Assertion
Ref Expression
lo1mul
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem lo1mul
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1add.3 . 2
2 lo1add.4 . 2
3 reeanv 3025 . . . 4
4 o1add2.1 . . . . . . . . . . 11
54ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10
6 dmmptg 5509 . . . . . . . . . 10
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9
8 lo1dm 13342 . . . . . . . . . 10
91, 8syl 16 . . . . . . . . 9
107, 9eqsstr3d 3538 . . . . . . . 8
1110adantr 465 . . . . . . 7
12 rexanre 13179 . . . . . . 7
1311, 12syl 16 . . . . . 6
14 simprl 756 . . . . . . . . 9
15 simprr 757 . . . . . . . . . 10
16 0re 9617 . . . . . . . . . 10
17 ifcl 3983 . . . . . . . . . 10
1815, 16, 17sylancl 662 . . . . . . . . 9
1914, 18remulcld 9645 . . . . . . . 8
20 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . 13
21 max2 11417 . . . . . . . . . . . . 13
2216, 20, 21sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12
23 o1add2.2 . . . . . . . . . . . . . . 15
2423, 2lo1mptrcl 13444 . . . . . . . . . . . . . 14
2524adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
2620, 16, 17sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13
27 letr 9699 . . . . . . . . . . . . 13
2825, 20, 26, 27syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
2922, 28mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11
304, 1lo1mptrcl 13444 . . . . . . . . . . . . . 14
3130adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
32 lo1mul.5 . . . . . . . . . . . . . 14
3332adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13
3431, 33jca 532 . . . . . . . . . . . 12
35 simplrl 761 . . . . . . . . . . . 12
36 max1 11415 . . . . . . . . . . . . . 14
3716, 20, 36sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
3826, 37jca 532 . . . . . . . . . . . 12
39 lemul12b 10424 . . . . . . . . . . . 12
4034, 35, 25, 38, 39syl22anc 1229 . . . . . . . . . . 11
4129, 40sylan2d 482 . . . . . . . . . 10
4241imim2d 52 . . . . . . . . 9
4342ralimdva 2865 . . . . . . . 8
44 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
4544imbi2d 316 . . . . . . . . . 10
4645ralbidv 2896 . . . . . . . . 9
4746rspcev 3210 . . . . . . . 8
4819, 43, 47syl6an 545 . . . . . . 7
4948reximdv 2931 . . . . . 6
5013, 49sylbird 235 . . . . 5
5150rexlimdvva 2956 . . . 4
523, 51syl5bir 218 . . 3
5310, 30ello1mpt 13344 . . . . 5
54 rexcom 3019 . . . . 5
5553, 54syl6bb 261 . . . 4
5610, 24ello1mpt 13344 . . . . 5
57 rexcom 3019 . . . . 5
5856, 57syl6bb 261 . . . 4
5955, 58anbi12d 710 . . 3
6030, 24remulcld 9645 . . . 4
6110, 60ello1mpt 13344 . . 3
6252, 59, 613imtr4d 268 . 2
631, 2, 62mp2and 679 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  C_wss 3475  ifcif 3941   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  domcdm 5004  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   cmul 9518   cle 9650   clo1 13310
This theorem is referenced by:  lo1mul2  13451  pntrlog2bndlem4  23765  pntrlog2bndlem5  23766
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-ico 11564  df-lo1 13314
  Copyright terms: Public domain W3C validator