MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lo1res Unicode version

Theorem lo1res 13382
Description: The restriction of an eventually upper bounded function is eventually upper bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
lo1res

Proof of Theorem lo1res
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lo1f 13341 . . . 4
2 lo1bdd 13343 . . . 4
31, 2mpdan 668 . . 3
4 inss1 3717 . . . . . . 7
5 ssralv 3563 . . . . . . 7
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6
7 inss2 3718 . . . . . . . . . . 11
87sseli 3499 . . . . . . . . . 10
9 fvres 5885 . . . . . . . . . 10
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9
1110breq1d 4462 . . . . . . . 8
1211imbi2d 316 . . . . . . 7
1312ralbiia 2887 . . . . . 6
146, 13sylibr 212 . . . . 5
1514reximi 2925 . . . 4
1615reximi 2925 . . 3
173, 16syl 16 . 2
18 fssres 5756 . . . . 5
191, 4, 18sylancl 662 . . . 4
20 resres 5291 . . . . . 6
21 ffn 5736 . . . . . . . 8
22 fnresdm 5695 . . . . . . . 8
231, 21, 223syl 20 . . . . . . 7
2423reseq1d 5277 . . . . . 6
2520, 24syl5eqr 2512 . . . . 5
2625feq1d 5722 . . . 4
2719, 26mpbid 210 . . 3
28 lo1dm 13342 . . . 4
294, 28syl5ss 3514 . . 3
30 ello12 13339 . . 3
3127, 29, 30syl2anc 661 . 2
3217, 31mpbird 232 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  =wceq 1395  e.wcel 1818  A.wral 2807  E.wrex 2808  i^icin 3474  C_wss 3475   class class class wbr 4452  domcdm 5004  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593   cr 9512   cle 9650   clo1 13310
This theorem is referenced by:  o1res  13383  lo1res2  13385  lo1resb  13387
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-pm 7442  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-ico 11564  df-lo1 13314
  Copyright terms: Public domain W3C validator