Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmfval Unicode version

Theorem lsmfval 15323
 Description: The subgroup sum function (for a group or vector space). (Contributed by NM, 28-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmfval.v
lsmfval.a
lsmfval.s
Assertion
Ref Expression
lsmfval
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,)

Proof of Theorem lsmfval
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lsmfval.s . 2
2 elex 2973 . . 3
3 fveq2 5775 . . . . . . 7
4 lsmfval.v . . . . . . 7
53, 4syl6eqr 2493 . . . . . 6
65pweqd 3831 . . . . 5
7 fveq2 5775 . . . . . . . . . 10
8 lsmfval.a . . . . . . . . . 10
97, 8syl6eqr 2493 . . . . . . . . 9
109oveqd 6146 . . . . . . . 8
11103ad2ant1 979 . . . . . . 7
1211mpt2eq3dva 6188 . . . . . 6
1312rneqd 5141 . . . . 5
146, 6, 13mpt2eq123dv 6186 . . . 4
15 df-lsm 15321 . . . 4
16 fvex 5785 . . . . . . 7
174, 16eqeltri 2513 . . . . . 6
1817pwex 4421 . . . . 5
1918, 18mpt2ex 6475 . . . 4
2014, 15, 19fvmpt 5854 . . 3
212, 20syl 16 . 2
221, 21syl5eq 2487 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1654  e.wcel 1728   cvv 2965  ~Pcpw 3826  rancrn 4920  cfv 5501  (class class class)co 6129  e.`cmpt2 6131   cbs 13520   cplusg 13580   clsm 15319 This theorem is referenced by:  lsmvalx  15324  oppglsm  15327  lsmpropd  15360 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-rep 4354  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-1st 6399  df-2nd 6400  df-lsm 15321
 Copyright terms: Public domain W3C validator