Theorem lswccatn0lsw 12607

Description: The last symbol of a word concatenated with a nonempty word is the last symbol of the nonempty word. (Contributed by AV, 22-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 24-Nov-2018.)

Assertion

Ref	Expression
lswccatn0lsw

Proof of Theorem lswccatn0lsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6324	. . 3
2		lsw 12585	. . 3
3	1, 2	mp1i 12	. 2
4		ccatcl 12593	. . . . . . 7
5		lencl 12562	. . . . . . 7
6	4, 5	syl 16	. . . . . 6
7	6	nn0zd 10992	. . . . 5
8		peano2zm 10932	. . . . 5
9	7, 8	syl 16	. . . 4
10	9	3adant3 1016	. . 3
11		ccatsymb 12600	. . 3
12	10, 11	syld3an3 1273	. 2
13		ccatlen 12594	. . . . . . . 8
14	13	oveq1d 6311	. . . . . . 7
15	14	oveq1d 6311	. . . . . 6
16		lencl 12562	. . . . . . 7
17		lencl 12562	. . . . . . 7
18		nn0cn 10830	. . . . . . . 8
19		nn0cn 10830	. . . . . . . 8
20		addcl 9595	. . . . . . . . . 10
21		1cnd 9633	. . . . . . . . . 10
22		simpl 457	. . . . . . . . . 10
23	20, 21, 22	sub32d 9986	. . . . . . . . 9
24		pncan2 9850	. . . . . . . . . 10
25	24	oveq1d 6311	. . . . . . . . 9
26	23, 25	eqtrd 2498	. . . . . . . 8
27	18, 19, 26	syl2an 477	. . . . . . 7
28	16, 17, 27	syl2an 477	. . . . . 6
29	15, 28	eqtrd 2498	. . . . 5
30	29	3adant3 1016	. . . 4
31	30	fveq2d 5875	. . 3
32		lennncl 12563	. . . . . . . 8
33		nnnlt1 10591	. . . . . . . . . . . 12
34	33	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
35		nn0re 10829	. . . . . . . . . . . . 13
36	35	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12
37		nnre 10568	. . . . . . . . . . . . 13
38	37	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12
39		1red 9632	. . . . . . . . . . . 12
40		ltaddsublt 10201	. . . . . . . . . . . 12
41	36, 38, 39, 40	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11
42	34, 41	mtbid 300	. . . . . . . . . 10
43	16, 42	sylan2 474	. . . . . . . . 9
44	43	ex 434	. . . . . . . 8
45	32, 44	syl 16	. . . . . . 7
46	45	com12 31	. . . . . 6
47	46	3impib 1194	. . . . 5
48	14	breq1d 4462	. . . . . . 7
49	48	notbid 294	. . . . . 6
50	49	3adant3 1016	. . . . 5
51	47, 50	mpbird 232	. . . 4
52	51	iffalsed 3952	. . 3
53		lsw 12585	. . . 4
54	53	3ad2ant2 1018	. . 3
55	31, 52, 54	3eqtr4d 2508	. 2
56	3, 12, 55	3eqtrd 2502	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652  cvv 3109  c0 3784  ifcif 3941   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  1c1 9514  caddc 9516  clt 9649  cmin 9828  cn 10561  cn0 10820  cz 10889  chash 12405  Wordcword 12534  clsw 12535  cconcat 12536

This theorem is referenced by:  lswccats1  12638  lswccats1fst  12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-cnex 9569  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-fin 7540  df-card 8341  df-cda 8569  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-nn 10562  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10890  df-uz 11111  df-fz 11702  df-fzo 11825  df-hash 12406  df-word 12542  df-lsw 12543  df-concat 12544