Theorem lt2mul2div 10446

Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lt2mul2div

Proof of Theorem lt2mul2div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 9603	. . . . . . . . 9
2		recn 9603	. . . . . . . . 9
3		mulcom 9599	. . . . . . . . 9
4	1, 2, 3	syl2an 477	. . . . . . . 8
5	4	oveq1d 6311	. . . . . . 7
6	5	adantl 466	. . . . . 6
7	2	ad2antll 728	. . . . . . 7
8	1	ad2antrl 727	. . . . . . 7
9		recn 9603	. . . . . . . . . 10
10	9	adantr 465	. . . . . . . . 9
11		gt0ne0 10042	. . . . . . . . 9
12	10, 11	jca 532	. . . . . . . 8
13	12	adantr 465	. . . . . . 7
14		divass 10250	. . . . . . 7
15	7, 8, 13, 14	syl3anc 1228	. . . . . 6
16	6, 15	eqtrd 2498	. . . . 5
17	16	adantrrr 724	. . . 4
18	17	adantll 713	. . 3
19	18	breq2d 4464	. 2
20		simpll 753	. . 3
21		remulcl 9598	. . . . 5
22	21	adantrr 716	. . . 4
23	22	adantl 466	. . 3
24		simplr 755	. . 3
25		ltmuldiv 10440	. . 3
26	20, 23, 24, 25	syl3anc 1228	. 2
27		simpl 457	. . . . . . 7
28	27, 11	jca 532	. . . . . 6
29		redivcl 10288	. . . . . . 7
30	29	3expb 1197	. . . . . 6
31	28, 30	sylan2 474	. . . . 5
32	31	ancoms 453	. . . 4
33	32	ad2ant2lr 747	. . 3
34		simprr 757	. . 3
35		ltdivmul 10442	. . 3
36	20, 33, 34, 35	syl3anc 1228	. 2
37	19, 26, 36	3bitr4d 285	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  =/=wne 2652   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296  cc 9511  cr 9512  0cc0 9513  cmul 9518  clt 9649  cdiv 10231

This theorem is referenced by:  lt2mul2divd  11343  efcllem  13813  icopnfhmeo  21443  nmoleub2lem3  21598  dvcvx  22421  log2ub  23280  chebbnd1lem3  23656  subfaclim  28632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232