Theorem ltaddpr 9433

Description: The sum of two positive reals is greater than one of them. Proposition 9-3.5(iii) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 26-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltaddpr

Proof of Theorem ltaddpr

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prn0 9388	. . . . 5
2		n0 3794	. . . . 5
3	1, 2	sylib 196	. . . 4
4	3	adantl 466	. . 3
5		addclpr 9417	. . . . . . . . . . . 12
6	5	adantr 465	. . . . . . . . . . 11
7		df-plp 9382	. . . . . . . . . . . . 13
8		addclnq 9344	. . . . . . . . . . . . 13
9	7, 8	genpprecl 9400	. . . . . . . . . . . 12
10	9	imp 429	. . . . . . . . . . 11
11		elprnq 9390	. . . . . . . . . . . . 13
12		addnqf 9347	. . . . . . . . . . . . . . 15
13	12	fdmi 5741	. . . . . . . . . . . . . 14
14		0nnq 9323	. . . . . . . . . . . . . 14
15	13, 14	ndmovrcl 6461	. . . . . . . . . . . . 13
16		ltaddnq 9373	. . . . . . . . . . . . 13
17	11, 15, 16	3syl 20	. . . . . . . . . . . 12
18		prcdnq 9392	. . . . . . . . . . . 12
19	17, 18	mpd 15	. . . . . . . . . . 11
20	6, 10, 19	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
21	20	exp32 605	. . . . . . . . 9
22	21	com23 78	. . . . . . . 8
23	22	alrimdv 1721	. . . . . . 7
24		dfss2 3492	. . . . . . 7
25	23, 24	syl6ibr 227	. . . . . 6
26		vex 3112	. . . . . . . . 9
27	26	prlem934 9432	. . . . . . . 8
28	27	adantr 465	. . . . . . 7
29		eleq2 2530	. . . . . . . . . . . . 13
30	29	biimprcd 225	. . . . . . . . . . . 12
31	30	con3d 133	. . . . . . . . . . 11
32	9, 31	syl6 33	. . . . . . . . . 10
33	32	expd 436	. . . . . . . . 9
34	33	com34 83	. . . . . . . 8
35	34	rexlimdv 2947	. . . . . . 7
36	28, 35	mpd 15	. . . . . 6
37	25, 36	jcad 533	. . . . 5
38		dfpss2 3588	. . . . 5
39	37, 38	syl6ibr 227	. . . 4
40	39	exlimdv 1724	. . 3
41	4, 40	mpd 15	. 2
42		ltprord 9429	. . 3
43	5, 42	syldan 470	. 2
44	41, 43	mpbird 232	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  A.wal 1393  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652  E.wrex 2808  C_wss 3475  C.wpss 3476  c0 3784   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296  cnq 9251  cplq 9254  cltq 9257  cnp 9258  cpp 9260  cltp 9262

This theorem is referenced by:  ltaddpr2  9434  ltexprlem7  9441  ltaprlem  9443  0lt1sr  9493  mappsrpr  9506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-plp 9382  df-ltp 9384