MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltanq Unicode version

Theorem ltanq 9370
Description: Ordering property of addition for positive fractions. Proposition 9-2.6(ii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltanq

Proof of Theorem ltanq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addnqf 9347 . . 3
21fdmi 5741 . 2
3 ltrelnq 9325 . 2
4 0nnq 9323 . 2
5 ordpinq 9342 . . . 4
653adant3 1016 . . 3
7 elpqn 9324 . . . . . . 7
873ad2ant3 1019 . . . . . 6
9 elpqn 9324 . . . . . . 7
1093ad2ant1 1017 . . . . . 6
11 addpipq2 9335 . . . . . 6
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5
13 elpqn 9324 . . . . . . 7
14133ad2ant2 1018 . . . . . 6
15 addpipq2 9335 . . . . . 6
168, 14, 15syl2anc 661 . . . . 5
1712, 16breq12d 4465 . . . 4
18 addpqnq 9337 . . . . . . . 8
1918ancoms 453 . . . . . . 7
20193adant2 1015 . . . . . 6
21 addpqnq 9337 . . . . . . . 8
2221ancoms 453 . . . . . . 7
23223adant1 1014 . . . . . 6
2420, 23breq12d 4465 . . . . 5
25 lterpq 9369 . . . . 5
2624, 25syl6bbr 263 . . . 4
27 xp2nd 6831 . . . . . . . . . 10
288, 27syl 16 . . . . . . . . 9
29 mulclpi 9292 . . . . . . . . 9
3028, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . 8
31 ltmpi 9303 . . . . . . . 8
3230, 31syl 16 . . . . . . 7
33 xp2nd 6831 . . . . . . . . . . 11
3414, 33syl 16 . . . . . . . . . 10
35 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
3628, 34, 35syl2anc 661 . . . . . . . . 9
37 xp1st 6830 . . . . . . . . . . 11
388, 37syl 16 . . . . . . . . . 10
39 xp2nd 6831 . . . . . . . . . . 11
4010, 39syl 16 . . . . . . . . . 10
41 mulclpi 9292 . . . . . . . . . 10
4238, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . . 9
43 mulclpi 9292 . . . . . . . . 9
4436, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . 8
45 ltapi 9302 . . . . . . . 8
4644, 45syl 16 . . . . . . 7
4732, 46bitrd 253 . . . . . 6
48 mulcompi 9295 . . . . . . . . . 10
49 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
50 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
51 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
52 mulcompi 9295 . . . . . . . . . . 11
53 mulasspi 9296 . . . . . . . . . . 11
5449, 50, 51, 52, 53, 51caov411 6507 . . . . . . . . . 10
5548, 54eqtri 2486 . . . . . . . . 9
5655oveq2i 6307 . . . . . . . 8
57 distrpi 9297 . . . . . . . 8
58 mulcompi 9295 . . . . . . . 8
5956, 57, 583eqtr2i 2492 . . . . . . 7
60 mulcompi 9295 . . . . . . . . . 10
61 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
62 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
6361, 62, 51, 52, 53, 50caov411 6507 . . . . . . . . . 10
6460, 63eqtri 2486 . . . . . . . . 9
65 mulcompi 9295 . . . . . . . . . 10
66 fvex 5881 . . . . . . . . . . 11
6766, 62, 51, 52, 53, 51caov411 6507 . . . . . . . . . 10
6865, 67eqtri 2486 . . . . . . . . 9
6964, 68oveq12i 6308 . . . . . . . 8
70 distrpi 9297 . . . . . . . 8
71 mulcompi 9295 . . . . . . . 8
7269, 70, 713eqtr2i 2492 . . . . . . 7
7359, 72breq12i 4461 . . . . . 6
7447, 73syl6bb 261 . . . . 5
75 ordpipq 9341 . . . . 5
7674, 75syl6bbr 263 . . . 4
7717, 26, 763bitr4rd 286 . . 3
786, 77bitrd 253 . 2
792, 3, 4, 78ndmovord 6465 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cnpi 9243   cpli 9244   cmi 9245   clti 9246   cplpq 9247   cltpq 9249   cnq 9251   cerq 9253   cplq 9254   cltq 9257
This theorem is referenced by:  ltaddnq  9373  ltbtwnnq  9377  addclpr  9417  distrlem4pr  9425  ltexprlem3  9437  ltexprlem4  9438  ltexprlem6  9440  prlem936  9446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-1nq 9315  df-ltnq 9317
  Copyright terms: Public domain W3C validator