Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbtwnnq Unicode version

Theorem ltbtwnnq 9377
 Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltbtwnnq
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ltbtwnnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 9325 . . . . 5
21brel 5053 . . . 4
32simprd 463 . . 3
4 ltexnq 9374 . . . 4
5 eleq1 2529 . . . . . . . . . 10
65biimparc 487 . . . . . . . . 9
7 addnqf 9347 . . . . . . . . . . 11
87fdmi 5741 . . . . . . . . . 10
9 0nnq 9323 . . . . . . . . . 10
108, 9ndmovrcl 6461 . . . . . . . . 9
116, 10syl 16 . . . . . . . 8
1211simprd 463 . . . . . . 7
13 nsmallnq 9376 . . . . . . . 8
1411simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
151brel 5053 . . . . . . . . . . . . 13
1615simpld 459 . . . . . . . . . . . 12
17 ltaddnq 9373 . . . . . . . . . . . 12
1814, 16, 17syl2an 477 . . . . . . . . . . 11
19 ltanq 9370 . . . . . . . . . . . . . 14
2019biimpa 484 . . . . . . . . . . . . 13
2114, 20sylan 471 . . . . . . . . . . . 12
22 simplr 755 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22breqtrd 4476 . . . . . . . . . . 11
24 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12
25 breq2 4456 . . . . . . . . . . . . 13
26 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . 13
2725, 26anbi12d 710 . . . . . . . . . . . 12
2824, 27spcev 3201 . . . . . . . . . . 11
2918, 23, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
3029ex 434 . . . . . . . . 9
3130exlimdv 1724 . . . . . . . 8
3213, 31syl5 32 . . . . . . 7
3312, 32mpd 15 . . . . . 6
3433ex 434 . . . . 5
3534exlimdv 1724 . . . 4
364, 35sylbid 215 . . 3
373, 36mpcom 36 . 2
38 ltsonq 9368 . . . 4
3938, 1sotri 5399 . . 3
4039exlimiv 1722 . 2
4137, 40impbii 188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296   cnq 9251   cplq 9254   cltq 9257 This theorem is referenced by:  nqpr  9413  reclem2pr  9447 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317
 Copyright terms: Public domain W3C validator