Theorem ltbtwnnq 9377

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnnq

Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ltbtwnnq

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelnq 9325	. . . . 5
2	1	brel 5053	. . . 4
3	2	simprd 463	. . 3
4		ltexnq 9374	. . . 4
5		eleq1 2529	. . . . . . . . . 10
6	5	biimparc 487	. . . . . . . . 9
7		addnqf 9347	. . . . . . . . . . 11
8	7	fdmi 5741	. . . . . . . . . 10
9		0nnq 9323	. . . . . . . . . 10
10	8, 9	ndmovrcl 6461	. . . . . . . . 9
11	6, 10	syl 16	. . . . . . . 8
12	11	simprd 463	. . . . . . 7
13		nsmallnq 9376	. . . . . . . 8
14	11	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12
15	1	brel 5053	. . . . . . . . . . . . 13
16	15	simpld 459	. . . . . . . . . . . 12
17		ltaddnq 9373	. . . . . . . . . . . 12
18	14, 16, 17	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11
19		ltanq 9370	. . . . . . . . . . . . . 14
20	19	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . 13
21	14, 20	sylan 471	. . . . . . . . . . . 12
22		simplr 755	. . . . . . . . . . . 12
23	21, 22	breqtrd 4476	. . . . . . . . . . 11
24		ovex 6324	. . . . . . . . . . . 12
25		breq2 4456	. . . . . . . . . . . . 13
26		breq1 4455	. . . . . . . . . . . . 13
27	25, 26	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . 12
28	24, 27	spcev 3201	. . . . . . . . . . 11
29	18, 23, 28	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10
30	29	ex 434	. . . . . . . . 9
31	30	exlimdv 1724	. . . . . . . 8
32	13, 31	syl5 32	. . . . . . 7
33	12, 32	mpd 15	. . . . . 6
34	33	ex 434	. . . . 5
35	34	exlimdv 1724	. . . 4
36	4, 35	sylbid 215	. . 3
37	3, 36	mpcom 36	. 2
38		ltsonq 9368	. . . 4
39	38, 1	sotri 5399	. . 3
40	39	exlimiv 1722	. 2
41	37, 40	impbii 188	1

Syntax hints:  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296  cnq 9251  cplq 9254  cltq 9257

This theorem is referenced by:  nqpr  9413  reclem2pr  9447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317