MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdiv23 Unicode version

Theorem ltdiv23 9952
Description: Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltdiv23

Proof of Theorem ltdiv23
StepHypRef Expression
1 simpl 445 . . . . . . 7
2 gt0ne0 9544 . . . . . . 7
31, 2jca 520 . . . . . 6
4 redivcl 9784 . . . . . . 7
543expb 1155 . . . . . 6
63, 5sylan2 462 . . . . 5
763adant3 978 . . . 4
8 simp3 960 . . . 4
9 simp2 959 . . . 4
10 ltmul1 9911 . . . 4
117, 8, 9, 10syl3anc 1185 . . 3
12113adant3r 1182 . 2
13 recn 9131 . . . . . 6
1413adantr 453 . . . . 5
15 recn 9131 . . . . . 6
1615ad2antrl 710 . . . . 5
172adantl 454 . . . . 5
1814, 16, 17divcan1d 9842 . . . 4
19183adant3 978 . . 3
2019breq1d 4253 . 2
21 remulcl 9126 . . . . . . . 8
2221ancoms 441 . . . . . . 7
2322adantrr 699 . . . . . 6
24233adant1 976 . . . . 5
25 ltdiv1 9925 . . . . 5
2624, 25syld3an2 1232 . . . 4
27 recn 9131 . . . . . . . . 9
2827adantr 453 . . . . . . . 8
29 gt0ne0 9544 . . . . . . . 8
3028, 29jca 520 . . . . . . 7
31 divcan3 9753 . . . . . . . 8
32313expb 1155 . . . . . . 7
3315, 30, 32syl2an 465 . . . . . 6
34333adant1 976 . . . . 5
3534breq2d 4255 . . . 4
3626, 35bitrd 246 . . 3
37363adant2r 1180 . 2
3812, 20, 373bitrd 272 1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 360  /\w3a 937  =wceq 1654  e.wcel 1728  =/=wne 2606   class class class wbr 4243  (class class class)co 6129   cc 9039   cr 9040  0cc0 9041   cmul 9046   clt 9171   cdiv 9728
This theorem is referenced by:  ltdiv23i  9986  ltdiv23d  10755  divrcnv  12683  prmind2  13141  lebnumii  19042  bposlem2  21120  pntibndlem1  21334  stoweidlem7  27910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4364  ax-nul 4372  ax-pow 4416  ax-pr 4442  ax-un 4742  ax-resscn 9098  ax-1cn 9099  ax-icn 9100  ax-addcl 9101  ax-addrcl 9102  ax-mulcl 9103  ax-mulrcl 9104  ax-mulcom 9105  ax-addass 9106  ax-mulass 9107  ax-distr 9108  ax-i2m1 9109  ax-1ne0 9110  ax-1rid 9111  ax-rnegex 9112  ax-rrecex 9113  ax-cnre 9114  ax-pre-lttri 9115  ax-pre-lttrn 9116  ax-pre-ltadd 9117  ax-pre-mulgt0 9118
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-reu 2719  df-rmo 2720  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3766  df-pw 3828  df-sn 3847  df-pr 3848  df-op 3850  df-uni 4044  df-br 4244  df-opab 4302  df-mpt 4303  df-id 4539  df-po 4544  df-so 4545  df-xp 4925  df-rel 4926  df-cnv 4927  df-co 4928  df-dm 4929  df-rn 4930  df-res 4931  df-ima 4932  df-iota 5464  df-fun 5503  df-fn 5504  df-f 5505  df-f1 5506  df-fo 5507  df-f1o 5508  df-fv 5509  df-ov 6132  df-oprab 6133  df-mpt2 6134  df-riota 6599  df-er 6954  df-en 7159  df-dom 7160  df-sdom 7161  df-pnf 9173  df-mnf 9174  df-xr 9175  df-ltxr 9176  df-le 9177  df-sub 9344  df-neg 9345  df-div 9729
  Copyright terms: Public domain W3C validator