MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdivp1i Unicode version

Theorem ltdivp1i 10396
Description: Less-than and division relation. (Lemma for computing upper bounds of products. The "+ 1" prevents division by zero.) (Contributed by NM, 17-Sep-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1
prodgt0.2
ltmul1.3
Assertion
Ref Expression
ltdivp1i

Proof of Theorem ltdivp1i
StepHypRef Expression
1 ltplus1.1 . . . 4
2 ltmul1.3 . . . . 5
3 1re 9522 . . . . . 6
42, 3readdcli 9536 . . . . 5
52ltp1i 10373 . . . . . . 7
62, 4, 5ltleii 9634 . . . . . 6
7 lemul2a 10321 . . . . . 6
86, 7mpan2 671 . . . . 5
92, 4, 8mp3an12 1305 . . . 4
101, 9mpan 670 . . 3
11103ad2ant1 1009 . 2
12 0re 9523 . . . . . . . 8
1312, 2, 4lelttri 9638 . . . . . . 7
145, 13mpan2 671 . . . . . 6
154gt0ne0i 10012 . . . . . . . . 9
16 prodgt0.2 . . . . . . . . . 10
1716, 4redivclzi 10234 . . . . . . . . 9
1815, 17syl 16 . . . . . . . 8
19 ltmul1 10316 . . . . . . . . . 10
201, 19mp3an1 1302 . . . . . . . . 9
214, 20mpanr1 683 . . . . . . . 8
2218, 21mpancom 669 . . . . . . 7
2322biimpd 207 . . . . . 6
2414, 23syl 16 . . . . 5
2524imp 429 . . . 4
2616recni 9535 . . . . . . 7
274recni 9535 . . . . . . 7
2826, 27divcan1zi 10204 . . . . . 6
2914, 15, 283syl 20 . . . . 5
3029adantr 465 . . . 4
3125, 30breqtrd 4433 . . 3
32313adant1 1006 . 2
331, 2remulcli 9537 . . 3
341, 4remulcli 9537 . . 3
3533, 34, 16lelttri 9638 . 2
3611, 32, 35syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  =/=wne 2648   class class class wbr 4409  (class class class)co 6222   cr 9418  0cc0 9419  1c1 9420   caddc 9422   cmul 9424   clt 9555   cle 9556   cdiv 10130
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505  ax-resscn 9476  ax-1cn 9477  ax-icn 9478  ax-addcl 9479  ax-addrcl 9480  ax-mulcl 9481  ax-mulrcl 9482  ax-mulcom 9483  ax-addass 9484  ax-mulass 9485  ax-distr 9486  ax-i2m1 9487  ax-1ne0 9488  ax-1rid 9489  ax-rnegex 9490  ax-rrecex 9491  ax-cnre 9492  ax-pre-lttri 9493  ax-pre-lttrn 9494  ax-pre-ltadd 9495  ax-pre-mulgt0 9496
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rmo 2808  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-po 4758  df-so 4759  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-riota 6183  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-er 7235  df-en 7445  df-dom 7446  df-sdom 7447  df-pnf 9557  df-mnf 9558  df-xr 9559  df-ltxr 9560  df-le 9561  df-sub 9734  df-neg 9735  df-div 10131
  Copyright terms: Public domain W3C validator