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Theorem ltexnq 9374
Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by NM, 24-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltexnq
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ltexnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 9325 . . . 4
21brel 5053 . . 3
3 ordpinq 9342 . . . 4
4 elpqn 9324 . . . . . . . . 9
54adantr 465 . . . . . . . 8
6 xp1st 6830 . . . . . . . 8
75, 6syl 16 . . . . . . 7
8 elpqn 9324 . . . . . . . . 9
98adantl 466 . . . . . . . 8
10 xp2nd 6831 . . . . . . . 8
119, 10syl 16 . . . . . . 7
12 mulclpi 9292 . . . . . . 7
137, 11, 12syl2anc 661 . . . . . 6
14 xp1st 6830 . . . . . . . 8
159, 14syl 16 . . . . . . 7
16 xp2nd 6831 . . . . . . . 8
175, 16syl 16 . . . . . . 7
18 mulclpi 9292 . . . . . . 7
1915, 17, 18syl2anc 661 . . . . . 6
20 ltexpi 9301 . . . . . 6
2113, 19, 20syl2anc 661 . . . . 5
22 relxp 5115 . . . . . . . . . . . 12
234ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
24 1st2nd 6846 . . . . . . . . . . . 12
2522, 23, 24sylancr 663 . . . . . . . . . . 11
2625oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10
277adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2817adantr 465 . . . . . . . . . . 11
29 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
30 mulclpi 9292 . . . . . . . . . . . . 13
3117, 11, 30syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
3231adantr 465 . . . . . . . . . . 11
33 addpipq 9336 . . . . . . . . . . 11
3427, 28, 29, 32, 33syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
3526, 34eqtrd 2498 . . . . . . . . 9
36 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12
37 distrpi 9297 . . . . . . . . . . . . 13
38 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 mulcompi 9295 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 mulasspi 9296 . . . . . . . . . . . . . . 15
4338, 39, 40, 41, 42caov12 6503 . . . . . . . . . . . . . 14
44 mulcompi 9295 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44oveq12i 6308 . . . . . . . . . . . . 13
4637, 45eqtr2i 2487 . . . . . . . . . . . 12
47 mulasspi 9296 . . . . . . . . . . . . 13
48 mulcompi 9295 . . . . . . . . . . . . . 14
4948oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . . 13
5047, 49eqtri 2486 . . . . . . . . . . . 12
5136, 46, 503eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . 11
52 mulasspi 9296 . . . . . . . . . . . . 13
5352eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . 12
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11
5551, 54opeq12d 4225 . . . . . . . . . 10
5655eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
5735, 56syl5ibcom 220 . . . . . . . 8
58 fveq2 5871 . . . . . . . . 9
59 adderpq 9355 . . . . . . . . . . 11
60 nqerid 9332 . . . . . . . . . . . . 13
6160ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
6261oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11
6359, 62syl5eqr 2512 . . . . . . . . . 10
64 mulclpi 9292 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6517, 17, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6715adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
6811adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
69 mulcanenq 9359 . . . . . . . . . . . . . 14
7066, 67, 68, 69syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
718ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
72 1st2nd 6846 . . . . . . . . . . . . . 14
7322, 71, 72sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
7470, 73breqtrrd 4478 . . . . . . . . . . . 12
75 mulclpi 9292 . . . . . . . . . . . . . . 15
7666, 67, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
77 mulclpi 9292 . . . . . . . . . . . . . . 15
7866, 68, 77syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
79 opelxpi 5036 . . . . . . . . . . . . . 14
8076, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
81 nqereq 9334 . . . . . . . . . . . . 13
8280, 71, 81syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
8374, 82mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
84 nqerid 9332 . . . . . . . . . . . 12
8584ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
8683, 85eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10
8763, 86eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
8858, 87syl5ib 219 . . . . . . . 8
8957, 88syld 44 . . . . . . 7
90 fvex 5881 . . . . . . . 8
91 oveq2 6304 . . . . . . . . 9
9291eqeq1d 2459 . . . . . . . 8
9390, 92spcev 3201 . . . . . . 7
9489, 93syl6 33 . . . . . 6
9594rexlimdva 2949 . . . . 5
9621, 95sylbid 215 . . . 4
973, 96sylbid 215 . . 3
982, 97mpcom 36 . 2
99 eleq1 2529 . . . . . . 7
10099biimparc 487 . . . . . 6
101 addnqf 9347 . . . . . . . 8
102101fdmi 5741 . . . . . . 7
103 0nnq 9323 . . . . . . 7
104102, 103ndmovrcl 6461 . . . . . 6
105 ltaddnq 9373 . . . . . 6
106100, 104, 1053syl 20 . . . . 5
107 simpr 461 . . . . 5
108106, 107breqtrd 4476 . . . 4
109108ex 434 . . 3
110109exlimdv 1724 . 2
11198, 110impbid2 204 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  Relwrel 5009  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cnpi 9243   cpli 9244   cmi 9245   clti 9246   cplpq 9247   ceq 9250   cnq 9251   cerq 9253   cplq 9254   cltq 9257
This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  9377  prnmadd  9396  ltexprlem4  9438  ltexprlem7  9441  prlem936  9446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-ltnq 9317
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