Theorem ltexprlem4 9438

Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltexprlem.1

Assertion

Ref	Expression
ltexprlem4

Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,

Proof of Theorem ltexprlem4

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnmax 9394	. . . . . . . . 9
2		df-rex 2813	. . . . . . . . 9
3	1, 2	sylib 196	. . . . . . . 8
4		ltrelnq 9325	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5	4	brel 5053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6	5	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7		addnqf 9347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
8	7	fdmi 5741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9		0nnq 9323	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10	8, 9	ndmovrcl 6461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11	6, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
12		ltaddnq 9373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
13		ltsonq 9368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
14	13, 4	sotri 5399	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
15	12, 14	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
16	11, 15	mpancom 669	. . . . . . . . . . . . . . . 16
17	4	brel 5053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
18	17	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
19		ltexnq 9374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
20	19	biimpd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
21	18, 20	mpcom 36	. . . . . . . . . . . . . . . 16
22	16, 21	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15
23		eqcom 2466	. . . . . . . . . . . . . . . 16
24	23	exbii 1667	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	22, 24	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	ancri 552	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	anim2i 569	. . . . . . . . . . . 12
28		an12 797	. . . . . . . . . . . 12
29	27, 28	sylibr 212	. . . . . . . . . . 11
30		19.41v 1771	. . . . . . . . . . 11
31	29, 30	sylibr 212	. . . . . . . . . 10
32	31	eximi 1656	. . . . . . . . 9
33		excom 1849	. . . . . . . . 9
34	32, 33	sylibr 212	. . . . . . . 8
35		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11
36		eleq1 2529	. . . . . . . . . . . 12
37		breq2 4456	. . . . . . . . . . . 12
38	36, 37	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11
39	35, 38	ceqsexv 3146	. . . . . . . . . 10
40		ltanq 9370	. . . . . . . . . . . 12
41	8, 4, 9, 40	ndmovordi 6466	. . . . . . . . . . 11
42	41	anim2i 569	. . . . . . . . . 10
43	39, 42	sylbi 195	. . . . . . . . 9
44	43	eximi 1656	. . . . . . . 8
45	3, 34, 44	3syl 20	. . . . . . 7
46	45	anim2i 569	. . . . . 6
47	46	an12s 801	. . . . 5
48		19.42v 1775	. . . . 5
49	47, 48	sylibr 212	. . . 4
50	49	ex 434	. . 3
51	50	eximdv 1710	. 2
52		ltexprlem.1	. . 3
53	52	abeq2i 2584	. 2
54		vex 3112	. . . . . . 7
55		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10
56	55	eleq1d 2526	. . . . . . . . 9
57	56	anbi2d 703	. . . . . . . 8
58	57	exbidv 1714	. . . . . . 7
59	54, 58, 52	elab2 3249	. . . . . 6
60	59	anbi1i 695	. . . . 5
61		19.41v 1771	. . . . 5
62		anass 649	. . . . . 6
63	62	exbii 1667	. . . . 5
64	60, 61, 63	3bitr2i 273	. . . 4
65	64	exbii 1667	. . 3
66		excom 1849	. . 3
67	65, 66	bitr4i 252	. 2
68	51, 53, 67	3imtr4g 270	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296  cnq 9251  cplq 9254  cltq 9257  cnp 9258

This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-ltnq 9317  df-np 9380