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Theorem ltexprlem7 9441
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1
Assertion
Ref Expression
ltexprlem7
Distinct variable groups:   , ,   , ,   ,

Proof of Theorem ltexprlem7
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . . . 8
21ltexprlem5 9439 . . . . . . 7
3 ltaddpr 9433 . . . . . . . . . . . . . . 15
4 addclpr 9417 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5 ltprord 9429 . . . . . . . . . . . . . . . 16
64, 5syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . 15
73, 6mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
87pssssd 3600 . . . . . . . . . . . . 13
98sseld 3502 . . . . . . . . . . . 12
109a1d 25 . . . . . . . . . . 11
1110a1d 25 . . . . . . . . . 10
1211com4r 86 . . . . . . . . 9
1312expd 436 . . . . . . . 8
14 prnmadd 9396 . . . . . . . . . . . 12
1514ex 434 . . . . . . . . . . 11
16 elprnq 9390 . . . . . . . . . . . . . . . 16
17 addnqf 9347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1817fdmi 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19 0nnq 9323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2018, 19ndmovrcl 6461 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2116, 20syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14
23 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2423prlem934 9432 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
26 prub 9393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
27 ltexnq 9374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2827adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2926, 28sylibd 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3029ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3130ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
32 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
33 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
34 addcomnq 9350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
35 addassnq 9357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3632, 23, 33, 34, 35caov32 6502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
37 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3836, 37syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3938eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4039biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
41 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
42 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4342notbid 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
44 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4544eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4643, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
4741, 46spcev 3201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
481abeq2i 2584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4947, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5040, 49sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
51 df-plp 9382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
52 addclnq 9344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
5351, 52genpprecl 9400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
5450, 53sylan2i 655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5554exp4d 609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5655imp42 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
57 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5857ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5956, 58mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6059exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6160exlimdv 1724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6231, 61syl6d 69 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6325, 62rexlimddv 2953 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6463com14 88 . . . . . . . . . . . . . . 15
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14
6622, 65mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
6766ex 434 . . . . . . . . . . . 12
6867exlimdv 1724 . . . . . . . . . . 11
6915, 68syld 44 . . . . . . . . . 10
7069com4t 85 . . . . . . . . 9
7170expd 436 . . . . . . . 8
7213, 71pm2.61i 164 . . . . . . 7
732, 72syl5 32 . . . . . 6
7473expd 436 . . . . 5
7574com34 83 . . . 4
7675pm2.43d 48 . . 3
7776imp31 432 . 2
7877ssrdv 3509 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {cab 2442  E.wrex 2808  C_wss 3475  C.wpss 3476   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296   cnq 9251   cplq 9254   cltq 9257   cnp 9258   cpp 9260   cltp 9262
This theorem is referenced by:  ltexpri  9442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-inf2 8079
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-pli 9272  df-mi 9273  df-lti 9274  df-plpq 9307  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-plq 9313  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-rq 9316  df-ltnq 9317  df-np 9380  df-plp 9382  df-ltp 9384
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