MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltleii Unicode version

Theorem ltleii 9728
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1
lt.2
ltlei.1
Assertion
Ref Expression
ltleii

Proof of Theorem ltleii
StepHypRef Expression
1 ltlei.1 . 2
2 lt.1 . . 3
3 lt.2 . . 3
42, 3ltlei 9727 . 2
51, 4ax-mp 5 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  e.wcel 1818   class class class wbr 4452   cr 9512   clt 9649   cle 9650
This theorem is referenced by:  0le1  10101  ledivp1i  10496  ltdivp1i  10497  1le2  10774  1le3  10777  uzuzle23  11150  fzo0to42pr  11901  faclbnd4lem1  12371  sqrt9  13107  sqrt2gt1lt2  13108  absrdbnd  13174  sqrtpclii  13215  geo2lim  13684  0.999...  13690  ef01bndlem  13919  sin01bnd  13920  cos01bnd  13921  cos2bnd  13923  rpnnen2lem3  13950  rpnnen2lem4  13951  rpnnen2lem9  13956  rpnnen2  13959  bitsp1o  14083  strlemor1  14724  strleun  14727  elii1  21435  htpycc  21480  pcoval1  21513  pco0  21514  pcoval2  21516  pcocn  21517  pcohtpylem  21519  pcopt  21522  pcopt2  21523  pcoass  21524  pcorevlem  21526  vitalilem4  22020  vitali  22022  mbfi1fseqlem6  22127  dveflem  22380  sinhalfpilem  22856  sincosq1lem  22890  sincos4thpi  22906  sincos6thpi  22908  tanregt0  22926  efif1olem4  22932  relogrn  22949  argregt0  22995  argrege0  22996  logneg2  23000  heron  23169  asin1  23225  reasinsin  23227  log2cnv  23275  log2tlbnd  23276  log2ub  23280  harmonicbnd3  23337  ppiublem1  23477  ppiub  23479  bposlem3  23561  bposlem4  23562  bposlem5  23563  bposlem7  23565  bposlem8  23566  bposlem9  23567  lgsdir2lem1  23598  chebbnd1lem3  23656  dchrvmasumlema  23685  logdivsum  23718  mulog2sumlem2  23720  pntpbnd1a  23770  pntpbnd2  23772  pntlemk  23791  axlowdimlem16  24260  axlowdimlem17  24261  axlowdim  24264  usgraexvlem  24395  usgraex0elv  24396  usgraex1elv  24397  usgraex2elv  24398  usgraex3elv  24399  constr3pthlem3  24657  4cycl4v4e  24666  4cycl4dv4e  24668  konigsberg  24987  extwwlkfablem2  25078  ex-fl  25168  normlem6  26032  sqsscirc1  27890  4bc2eq6  29112  logi  29121  tan2h  30047  fdc  30238  jm2.20nn  30939  areaquad  31184  halffl  31493  itgsin0pilem1  31748  itgsinexplem1  31752  wallispilem2  31848  wallispilem4  31850  stirlinglem15  31870  stirlingr  31872  fourierdlem62  31951  fourierdlem77  31966  fourierdlem102  31991  fourierdlem103  31992  fourierdlem104  31993  fourierdlem111  32000  fourierdlem112  32001  fourierdlem114  32003  sqwvfoura  32011  sqwvfourb  32012  fourierswlem  32013  fouriersw  32014  etransclem23  32040  etransclem46  32063  sineq0ALT  33737  bj-pinftyccb  34624  bj-pinftynminfty  34630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-pre-lttri 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655
  Copyright terms: Public domain W3C validator