Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmnq Unicode version

Theorem ltmnq 9371
 Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltmnq

Proof of Theorem ltmnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mulnqf 9348 . . 3
21fdmi 5741 . 2
3 ltrelnq 9325 . 2
4 0nnq 9323 . 2
5 elpqn 9324 . . . . . . . . . 10
653ad2ant3 1019 . . . . . . . . 9
7 xp1st 6830 . . . . . . . . 9
86, 7syl 16 . . . . . . . 8
9 xp2nd 6831 . . . . . . . . 9
106, 9syl 16 . . . . . . . 8
11 mulclpi 9292 . . . . . . . 8
128, 10, 11syl2anc 661 . . . . . . 7
13 ltmpi 9303 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15 fvex 5881 . . . . . . . 8
16 fvex 5881 . . . . . . . 8
17 fvex 5881 . . . . . . . 8
18 mulcompi 9295 . . . . . . . 8
19 mulasspi 9296 . . . . . . . 8
20 fvex 5881 . . . . . . . 8
2115, 16, 17, 18, 19, 20caov4 6506 . . . . . . 7
22 fvex 5881 . . . . . . . 8
23 fvex 5881 . . . . . . . 8
2415, 16, 22, 18, 19, 23caov4 6506 . . . . . . 7
2521, 24breq12i 4461 . . . . . 6
2614, 25syl6bb 261 . . . . 5
27 ordpipq 9341 . . . . 5
2826, 27syl6bbr 263 . . . 4
29 elpqn 9324 . . . . . . 7
30293ad2ant1 1017 . . . . . 6
31 mulpipq2 9338 . . . . . 6
326, 30, 31syl2anc 661 . . . . 5
33 elpqn 9324 . . . . . . 7
34333ad2ant2 1018 . . . . . 6
35 mulpipq2 9338 . . . . . 6
366, 34, 35syl2anc 661 . . . . 5
3732, 36breq12d 4465 . . . 4
3828, 37bitr4d 256 . . 3
39 ordpinq 9342 . . . 4
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cnpi 9243   cmi 9245   clti 9246   cmpq 9248   cltpq 9249   cnq 9251   cerq 9253   cmq 9255   cltq 9257 This theorem is referenced by:  ltaddnq  9373  ltrnq  9378  addclprlem1  9415  mulclprlem  9418  mulclpr  9419  distrlem4pr  9425  1idpr  9428  prlem934  9432  prlem936  9446  reclem3pr  9448  reclem4pr  9449 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-1o 7149  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-mpq 9308  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-erq 9312  df-mq 9314  df-1nq 9315  df-ltnq 9317