MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul1 Unicode version

Theorem ltmul1 10417
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltmul1

Proof of Theorem ltmul1
StepHypRef Expression
1 ltmul1a 10416 . . 3
21ex 434 . 2
3 oveq1 6303 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
5 ltmul1a 10416 . . . . . . 7
65ex 434 . . . . . 6
763com12 1200 . . . . 5
84, 7orim12d 838 . . . 4
98con3d 133 . . 3
10 simp1 996 . . . . 5
11 simp3l 1024 . . . . 5
1210, 11remulcld 9645 . . . 4
13 simp2 997 . . . . 5
1413, 11remulcld 9645 . . . 4
1512, 14lttrid 9744 . . 3
1610, 13lttrid 9744 . . 3
179, 15, 163imtr4d 268 . 2
182, 17impbid 191 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513   cmul 9518   clt 9649
This theorem is referenced by:  ltmul2  10418  lemul1  10419  ltdiv1  10431  ltdiv23  10461  recp1lt1  10468  ltmul1i  10489  ltdivp1i  10497  ltmul1d  11322  expmulnbnd  12298  discr1  12302  mertenslem1  13693  qnumgt0  14283  4sqlem12  14474  pgpfaclem2  17133  mbfi1fseqlem4  22125  itg2monolem1  22157  dgrcolem2  22671  tangtx  22898  ftalem1  23346  basellem4  23357  lgsquadlem1  23629  lgsquadlem2  23630  pntpbnd1  23771  ostth2lem1  23803  nn0prpwlem  30140  pellexlem2  30766  stoweidlem34  31816  stoweidlem59  31841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-ltxr 9654  df-sub 9830  df-neg 9831
  Copyright terms: Public domain W3C validator