MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltrec Unicode version

Theorem ltrec 10451
Description: The reciprocal of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltrec

Proof of Theorem ltrec
StepHypRef Expression
1 1red 9632 . . . 4
2 simprl 756 . . . 4
3 simpll 753 . . . 4
4 simplr 755 . . . 4
5 ltmuldiv 10440 . . . 4
61, 2, 3, 4, 5syl112anc 1232 . . 3
73recnd 9643 . . . . 5
87mulid2d 9635 . . . 4
98breq1d 4462 . . 3
102recnd 9643 . . . . 5
114gt0ne0d 10142 . . . . 5
1210, 7, 11divrecd 10348 . . . 4
1312breq2d 4464 . . 3
146, 9, 133bitr3d 283 . 2
153, 11rereccld 10396 . . 3
16 simprr 757 . . 3
17 ltdivmul 10442 . . 3
181, 15, 2, 16, 17syl112anc 1232 . 2
1914, 18bitr4d 256 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cr 9512  0cc0 9513  1c1 9514   cmul 9518   clt 9649   cdiv 10231
This theorem is referenced by:  lerec  10452  ltdiv2  10455  ltrec1  10457  reclt1  10465  recgt1  10466  ltreci  10481  nnrecl  10818  ltrecd  11303  chebbnd1  23657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592  ax-resscn 9570  ax-1cn 9571  ax-icn 9572  ax-addcl 9573  ax-addrcl 9574  ax-mulcl 9575  ax-mulrcl 9576  ax-mulcom 9577  ax-addass 9578  ax-mulass 9579  ax-distr 9580  ax-i2m1 9581  ax-1ne0 9582  ax-1rid 9583  ax-rnegex 9584  ax-rrecex 9585  ax-cnre 9586  ax-pre-lttri 9587  ax-pre-lttrn 9588  ax-pre-ltadd 9589  ax-pre-mulgt0 9590
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6257  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7330  df-en 7537  df-dom 7538  df-sdom 7539  df-pnf 9651  df-mnf 9652  df-xr 9653  df-ltxr 9654  df-le 9655  df-sub 9830  df-neg 9831  df-div 10232
  Copyright terms: Public domain W3C validator