Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltsonq Unicode version

Theorem ltsonq 9368
 Description: 'Less than' is a strict ordering on positive fractions. (Contributed by NM, 19-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltsonq

Proof of Theorem ltsonq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elpqn 9324 . . . . . . 7
21adantr 465 . . . . . 6
3 xp1st 6830 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5
5 elpqn 9324 . . . . . . 7
65adantl 466 . . . . . 6
7 xp2nd 6831 . . . . . 6
86, 7syl 16 . . . . 5
9 mulclpi 9292 . . . . 5
104, 8, 9syl2anc 661 . . . 4
11 xp1st 6830 . . . . . 6
126, 11syl 16 . . . . 5
13 xp2nd 6831 . . . . . 6
142, 13syl 16 . . . . 5
15 mulclpi 9292 . . . . 5
1612, 14, 15syl2anc 661 . . . 4
17 ltsopi 9287 . . . . 5
18 sotric 4831 . . . . 5
1917, 18mpan 670 . . . 4
2010, 16, 19syl2anc 661 . . 3
21 ordpinq 9342 . . 3
22 fveq2 5871 . . . . . . 7
23 fveq2 5871 . . . . . . . 8
2423eqcomd 2465 . . . . . . 7
2522, 24oveq12d 6314 . . . . . 6
26 enqbreq2 9319 . . . . . . . 8
271, 5, 26syl2an 477 . . . . . . 7
28 enqeq 9333 . . . . . . . 8
29283expia 1198 . . . . . . 7
3027, 29sylbird 235 . . . . . 6
3125, 30impbid2 204 . . . . 5
32 ordpinq 9342 . . . . . 6
3332ancoms 453 . . . . 5
3431, 33orbi12d 709 . . . 4
3534notbid 294 . . 3
3620, 21, 353bitr4d 285 . 2
37213adant3 1016 . . . . . 6
38 elpqn 9324 . . . . . . . 8
39383ad2ant3 1019 . . . . . . 7
40 xp2nd 6831 . . . . . . 7
41 ltmpi 9303 . . . . . . 7
4239, 40, 413syl 20 . . . . . 6
4337, 42bitrd 253 . . . . 5
44 ordpinq 9342 . . . . . . 7
45443adant1 1014 . . . . . 6
4613ad2ant1 1017 . . . . . . 7
47 ltmpi 9303 . . . . . . 7
4846, 13, 473syl 20 . . . . . 6
4945, 48bitrd 253 . . . . 5
5043, 49anbi12d 710 . . . 4
51 fvex 5881 . . . . . . 7
52 fvex 5881 . . . . . . 7
53 fvex 5881 . . . . . . 7
54 mulcompi 9295 . . . . . . 7
55 mulasspi 9296 . . . . . . 7
5651, 52, 53, 54, 55caov13 6505 . . . . . 6
57 fvex 5881 . . . . . . 7
58 fvex 5881 . . . . . . 7
5951, 57, 58, 54, 55caov13 6505 . . . . . 6
6056, 59breq12i 4461 . . . . 5
61 fvex 5881 . . . . . . 7
6253, 61, 58, 54, 55caov13 6505 . . . . . 6
63 ltrelpi 9288 . . . . . . 7
6417, 63sotri 5399 . . . . . 6
6562, 64syl5eqbrr 4486 . . . . 5
6660, 65sylan2b 475 . . . 4
6750, 66syl6bi 228 . . 3
68 ordpinq 9342 . . . . 5
69683adant2 1015 . . . 4
7053ad2ant2 1018 . . . . 5
71 ltmpi 9303 . . . . 5
7270, 7, 713syl 20 . . . 4
7369, 72bitrd 253 . . 3
7467, 73sylibrd 234 . 2
7536, 74isso2i 4837 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  -.wn 3  <->wb 184  \/wo 368  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   class class class wbr 4452  Orwor 4804  X.cxp 5002  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cnpi 9243   cmi 9245   clti 9246   ceq 9250   cnq 9251   cltq 9257 This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  9377  prub  9393  npomex  9395  genpnnp  9404  nqpr  9413  distrlem4pr  9425  prlem934  9432  ltexprlem4  9438  reclem2pr  9447  reclem4pr  9449 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-recs 7061  df-rdg 7095  df-oadd 7153  df-omul 7154  df-er 7330  df-ni 9271  df-mi 9273  df-lti 9274  df-ltpq 9309  df-enq 9310  df-nq 9311  df-ltnq 9317
 Copyright terms: Public domain W3C validator