MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mamufval Unicode version

Theorem mamufval 18474
Description: Functional value of the matrix multiplication operator. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mamufval.f
mamufval.b
mamufval.t
mamufval.r
mamufval.m
mamufval.n
mamufval.p
Assertion
Ref Expression
mamufval
Distinct variable groups:   , , , , ,M   ,N, , , ,   P, , , , ,   , , , , ,   , , , , ,   , ,   , , , ,

Proof of Theorem mamufval
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mamufval.f . 2
2 df-mamu 18473 . . . 4
32a1i 11 . . 3
4 fvex 5823 . . . . 5
5 fvex 5823 . . . . 5
6 fvex 5823 . . . . . . 7
7 nfcv 2616 . . . . . . 7
8 eqidd 2455 . . . . . . . 8
9 xpeq2 4972 . . . . . . . . 9
109oveq2d 6238 . . . . . . . 8
11 eqidd 2455 . . . . . . . . 9
12 id 22 . . . . . . . . 9
13 eqidd 2455 . . . . . . . . 9
1411, 12, 13mpt2eq123dv 6280 . . . . . . . 8
158, 10, 14mpt2eq123dv 6280 . . . . . . 7
166, 7, 15csbief 3426 . . . . . 6
17 xpeq12 4976 . . . . . . . 8
1817oveq2d 6238 . . . . . . 7
19 simpr 461 . . . . . . . . 9
2019xpeq1d 4980 . . . . . . . 8
2120oveq2d 6238 . . . . . . 7
22 id 22 . . . . . . . . 9
2322adantr 465 . . . . . . . 8
24 eqidd 2455 . . . . . . . 8
25 eqidd 2455 . . . . . . . . . 10
2619, 25mpteq12dv 4487 . . . . . . . . 9
2726oveq2d 6238 . . . . . . . 8
2823, 24, 27mpt2eq123dv 6280 . . . . . . 7
2918, 21, 28mpt2eq123dv 6280 . . . . . 6
3016, 29syl5eq 2507 . . . . 5
314, 5, 30csbie2 3431 . . . 4
32 simprl 755 . . . . . . . 8
3332fveq2d 5817 . . . . . . 7
34 mamufval.b . . . . . . 7
3533, 34syl6eqr 2513 . . . . . 6
36 fveq2 5813 . . . . . . . . . 10
3736fveq2d 5817 . . . . . . . . 9
3837ad2antll 728 . . . . . . . 8
39 mamufval.m . . . . . . . . . 10
40 mamufval.n . . . . . . . . . 10
41 mamufval.p . . . . . . . . . 10
42 ot1stg 6724 . . . . . . . . . 10
4339, 40, 41, 42syl3anc 1219 . . . . . . . . 9
4443adantr 465 . . . . . . . 8
4538, 44eqtrd 2495 . . . . . . 7
4636fveq2d 5817 . . . . . . . . 9
4746ad2antll 728 . . . . . . . 8
48 ot2ndg 6725 . . . . . . . . . 10
4939, 40, 41, 48syl3anc 1219 . . . . . . . . 9
5049adantr 465 . . . . . . . 8
5147, 50eqtrd 2495 . . . . . . 7
5245, 51xpeq12d 4982 . . . . . 6
5335, 52oveq12d 6240 . . . . 5
54 fveq2 5813 . . . . . . . . 9
5554ad2antll 728 . . . . . . . 8
56 ot3rdg 6726 . . . . . . . . . 10
5741, 56syl 16 . . . . . . . . 9
5857adantr 465 . . . . . . . 8
5955, 58eqtrd 2495 . . . . . . 7
6051, 59xpeq12d 4982 . . . . . 6
6135, 60oveq12d 6240 . . . . 5
6232fveq2d 5817 . . . . . . . . . 10
63 mamufval.t . . . . . . . . . 10
6462, 63syl6eqr 2513 . . . . . . . . 9
6564oveqd 6239 . . . . . . . 8
6651, 65mpteq12dv 4487 . . . . . . 7
6732, 66oveq12d 6240 . . . . . 6
6845, 59, 67mpt2eq123dv 6280 . . . . 5
6953, 61, 68mpt2eq123dv 6280 . . . 4
7031, 69syl5eq 2507 . . 3
71 mamufval.r . . . 4
72 elex 3090 . . . 4
7371, 72syl 16 . . 3
74 otex 4674 . . . 4
7574a1i 11 . . 3
76 ovex 6247 . . . . 5
77 ovex 6247 . . . . 5
7876, 77mpt2ex 6783 . . . 4
7978a1i 11 . . 3
803, 70, 73, 75, 79ovmpt2d 6351 . 2
811, 80syl5eq 2507 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  =wceq 1370  e.wcel 1758   cvv 3081  [_csb 3401  <.cotp 4001  e.cmpt 4467  X.cxp 4955  `cfv 5537  (class class class)co 6222  e.cmpt2 6224   c1st 6708   c2nd 6709   cmap 7348   cfn 7444   cbs 14332   cmulr 14398   cgsu 14538   cmmul 18472
This theorem is referenced by:  mamuval  18475  mamudm  18477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4520  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-reu 2807  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-ot 4002  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-mamu 18473
  Copyright terms: Public domain W3C validator