MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map0g Unicode version

Theorem map0g 7478
Description: Set exponentiation is empty iff the base is empty and the exponent is not empty. Theorem 97 of [Suppes] p. 89. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
map0g

Proof of Theorem map0g
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3794 . . . . 5
2 fconst6g 5779 . . . . . . . 8
3 elmapg 7452 . . . . . . . 8
42, 3syl5ibr 221 . . . . . . 7
5 ne0i 3790 . . . . . . 7
64, 5syl6 33 . . . . . 6
76exlimdv 1724 . . . . 5
81, 7syl5bi 217 . . . 4
98necon4d 2684 . . 3
10 f0 5771 . . . . . . 7
11 feq2 5719 . . . . . . 7
1210, 11mpbiri 233 . . . . . 6
13 elmapg 7452 . . . . . 6
1412, 13syl5ibr 221 . . . . 5
15 ne0i 3790 . . . . 5
1614, 15syl6 33 . . . 4
1716necon2d 2683 . . 3
189, 17jcad 533 . 2
19 oveq1 6303 . . 3
20 map0b 7477 . . 3
2119, 20sylan9eq 2518 . 2
2218, 21impbid1 203 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   c0 3784  {csn 4029  X.cxp 5002  -->wf 5589  (class class class)co 6296   cmap 7439
This theorem is referenced by:  map0  7479  mapdom2  7708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441
  Copyright terms: Public domain W3C validator