Theorem map2xp 7707

Description: A cardinal power with exponent 2 is equivalent to a Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
map2xp

Proof of Theorem map2xp

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df2o3 7162	. . . . 5
2		df-pr 4032	. . . . 5
3	1, 2	eqtri 2486	. . . 4
4	3	oveq2i 6307	. . 3
5		snex 4693	. . . . 5
6	5	a1i 11	. . . 4
7		snex 4693	. . . . 5
8	7	a1i 11	. . . 4
9		id 22	. . . 4
10		1n0 7164	. . . . . . . 8
11	10	neii 2656	. . . . . . 7
12		elsni 4054	. . . . . . 7
13	11, 12	mto 176	. . . . . 6
14		disjsn 4090	. . . . . 6
15	13, 14	mpbir 209	. . . . 5
16	15	a1i 11	. . . 4
17		mapunen 7706	. . . 4
18	6, 8, 9, 16, 17	syl31anc 1231	. . 3
19	4, 18	syl5eqbr 4485	. 2
20		oveq1 6303	. . . . 5
21		id 22	. . . . 5
22	20, 21	breq12d 4465	. . . 4
23		vex 3112	. . . . 5
24		0ex 4582	. . . . 5
25	23, 24	mapsnen 7613	. . . 4
26	22, 25	vtoclg 3167	. . 3
27		oveq1 6303	. . . . 5
28	27, 21	breq12d 4465	. . . 4
29		df1o2 7161	. . . . . 6
30	29, 5	eqeltri 2541	. . . . 5
31	23, 30	mapsnen 7613	. . . 4
32	28, 31	vtoclg 3167	. . 3
33		xpen 7700	. . 3
34	26, 32, 33	syl2anc 661	. 2
35		entr 7587	. 2
36	19, 34, 35	syl2anc 661	1

Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296  c1o 7142  c2o 7143  cmap 7439  cen 7533

This theorem is referenced by:  pwxpndom2  9064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538