MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  map2xp Unicode version

Theorem map2xp 7707
Description: A cardinal power with exponent 2 is equivalent to a Cartesian product with itself. (Contributed by Mario Carneiro, 31-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
map2xp

Proof of Theorem map2xp
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df2o3 7162 . . . . 5
2 df-pr 4032 . . . . 5
31, 2eqtri 2486 . . . 4
43oveq2i 6307 . . 3
5 snex 4693 . . . . 5
65a1i 11 . . . 4
7 snex 4693 . . . . 5
87a1i 11 . . . 4
9 id 22 . . . 4
10 1n0 7164 . . . . . . . 8
1110neii 2656 . . . . . . 7
12 elsni 4054 . . . . . . 7
1311, 12mto 176 . . . . . 6
14 disjsn 4090 . . . . . 6
1513, 14mpbir 209 . . . . 5
1615a1i 11 . . . 4
17 mapunen 7706 . . . 4
186, 8, 9, 16, 17syl31anc 1231 . . 3
194, 18syl5eqbr 4485 . 2
20 oveq1 6303 . . . . 5
21 id 22 . . . . 5
2220, 21breq12d 4465 . . . 4
23 vex 3112 . . . . 5
24 0ex 4582 . . . . 5
2523, 24mapsnen 7613 . . . 4
2622, 25vtoclg 3167 . . 3
27 oveq1 6303 . . . . 5
2827, 21breq12d 4465 . . . 4
29 df1o2 7161 . . . . . 6
3029, 5eqeltri 2541 . . . . 5
3123, 30mapsnen 7613 . . . 4
3228, 31vtoclg 3167 . . 3
33 xpen 7700 . . 3
3426, 32, 33syl2anc 661 . 2
35 entr 7587 . 2
3619, 34, 35syl2anc 661 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474   c0 3784  {csn 4029  {cpr 4031   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296   c1o 7142   c2o 7143   cmap 7439   cen 7533
This theorem is referenced by:  pwxpndom2  9064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-2o 7150  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538
  Copyright terms: Public domain W3C validator