MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapdom1 Unicode version

Theorem mapdom1 7702
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(c) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 27-Jul-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
mapdom1

Proof of Theorem mapdom1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldom 7542 . . . . . . 7
21brrelex2i 5046 . . . . . 6
3 domeng 7550 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5
54ibi 241 . . . 4
65adantr 465 . . 3
7 simpl 457 . . . . 5
8 enrefg 7567 . . . . . 6
98adantl 466 . . . . 5
10 mapen 7701 . . . . 5
117, 9, 10syl2anr 478 . . . 4
12 ovex 6324 . . . . 5
132ad2antrr 725 . . . . . 6
14 simprr 757 . . . . . 6
15 mapss 7481 . . . . . 6
1613, 14, 15syl2anc 661 . . . . 5
17 ssdomg 7581 . . . . 5
1812, 16, 17mpsyl 63 . . . 4
19 endomtr 7593 . . . 4
2011, 18, 19syl2anc 661 . . 3
216, 20exlimddv 1726 . 2
22 elmapex 7459 . . . . . . 7
2322simprd 463 . . . . . 6
2423con3i 135 . . . . 5
2524eq0rdv 3820 . . . 4
2625adantl 466 . . 3
27120dom 7667 . . 3
2826, 27syl6eqbr 4489 . 2
2921, 28pm2.61dan 791 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  (class class class)co 6296   cmap 7439   cen 7533   cdom 7534
This theorem is referenced by:  mappwen  8514  pwcfsdom  8979  cfpwsdom  8980  rpnnen  13960  rexpen  13961  hauspwdom  20002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538
  Copyright terms: Public domain W3C validator