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Theorem mapdom2 7708
Description: Order-preserving property of set exponentiation. Theorem 6L(d) of [Enderton] p. 149. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapdom2

Proof of Theorem mapdom2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . . 8
21oveq1d 6311 . . . . . . 7
3 simplr 755 . . . . . . . . . 10
4 idd 24 . . . . . . . . . . 11
54, 1jctird 544 . . . . . . . . . 10
63, 5mtod 177 . . . . . . . . 9
76neqned 2660 . . . . . . . 8
8 map0b 7477 . . . . . . . 8
97, 8syl 16 . . . . . . 7
102, 9eqtrd 2498 . . . . . 6
11 ovex 6324 . . . . . . 7
12110dom 7667 . . . . . 6
1310, 12syl6eqbr 4489 . . . . 5
14 simpll 753 . . . . . . . 8
15 reldom 7542 . . . . . . . . . . 11
1615brrelex2i 5046 . . . . . . . . . 10
1716ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
18 domeng 7550 . . . . . . . . 9
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8
2014, 19mpbid 210 . . . . . . 7
21 enrefg 7567 . . . . . . . . . . . 12
2221ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11
23 simprrl 765 . . . . . . . . . . 11
24 mapen 7701 . . . . . . . . . . 11
2522, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
26 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
28 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . 13
2928a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
30 simprl 756 . . . . . . . . . . . . 13
31 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14
3216ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 difexg 4600 . . . . . . . . . . . . . . 15
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
35 map0g 7478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
36 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3735, 36syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . 15
3837necon3d 2681 . . . . . . . . . . . . . 14
3931, 34, 38syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13
4030, 39mpd 15 . . . . . . . . . . . 12
41 xpdom3 7635 . . . . . . . . . . . 12
4227, 29, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
43 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
45 disjdif 3900 . . . . . . . . . . . . . . 15
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
47 mapunen 7706 . . . . . . . . . . . . . 14
4844, 34, 31, 46, 47syl31anc 1231 . . . . . . . . . . . . 13
4948ensymd 7586 . . . . . . . . . . . 12
50 simprrr 766 . . . . . . . . . . . . . 14
51 undif 3908 . . . . . . . . . . . . . 14
5250, 51sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13
5352oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
5449, 53breqtrd 4476 . . . . . . . . . . 11
55 domentr 7594 . . . . . . . . . . 11
5642, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
57 endomtr 7593 . . . . . . . . . 10
5825, 56, 57syl2anc 661 . . . . . . . . 9
5958expr 615 . . . . . . . 8
6059exlimdv 1724 . . . . . . 7
6120, 60mpd 15 . . . . . 6
6261adantlr 714 . . . . 5
6313, 62pm2.61dane 2775 . . . 4
6463an32s 804 . . 3
6564ex 434 . 2
66 reldmmap 7448 . . . 4
6766ovprc1 6327 . . 3
6867, 12syl6eqbr 4489 . 2
6965, 68pm2.61d1 159 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  -.wn 3  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  =/=wne 2652   cvv 3109  \cdif 3472  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  (class class class)co 6296   cmap 7439   cen 7533   cdom 7534
This theorem is referenced by:  mapdom3  7709  cfpwsdom  8980  hauspwdom  20002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-int 4287  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538
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