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Theorem mapen 7701
Description: Two set exponentiations are equinumerous when their bases and exponents are equinumerous. Theorem 6H(c) of [Enderton] p. 139. (Contributed by NM, 16-Dec-2003.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapen

Proof of Theorem mapen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7545 . 2
2 bren 7545 . 2
3 eeanv 1988 . . 3
4 ovex 6324 . . . . . 6
54a1i 11 . . . . 5
6 ovex 6324 . . . . . 6
76a1i 11 . . . . 5
8 elmapi 7460 . . . . . . 7
9 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
109adantr 465 . . . . . . . . . 10
11 fco 5746 . . . . . . . . . 10
1210, 11sylan 471 . . . . . . . . 9
13 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . 12
1413adantl 466 . . . . . . . . . . 11
15 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10
1716adantr 465 . . . . . . . . 9
18 fco 5746 . . . . . . . . 9
1912, 17, 18syl2anc 661 . . . . . . . 8
2019ex 434 . . . . . . 7
218, 20syl5 32 . . . . . 6
22 f1ofo 5828 . . . . . . . . . 10
2322adantr 465 . . . . . . . . 9
24 forn 5803 . . . . . . . . 9
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8
26 vex 3112 . . . . . . . . 9
2726rnex 6734 . . . . . . . 8
2825, 27syl6eqelr 2554 . . . . . . 7
29 f1ofo 5828 . . . . . . . . . 10
3029adantl 466 . . . . . . . . 9
31 forn 5803 . . . . . . . . 9
3230, 31syl 16 . . . . . . . 8
33 vex 3112 . . . . . . . . 9
3433rnex 6734 . . . . . . . 8
3532, 34syl6eqelr 2554 . . . . . . 7
3628, 35elmapd 7453 . . . . . 6
3721, 36sylibrd 234 . . . . 5
38 elmapi 7460 . . . . . . 7
39 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . 12
4039adantr 465 . . . . . . . . . . 11
41 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . 10
4342adantr 465 . . . . . . . . 9
44 id 22 . . . . . . . . . 10
45 f1of 5821 . . . . . . . . . . 11
4645adantl 466 . . . . . . . . . 10
47 fco 5746 . . . . . . . . . 10
4844, 46, 47syl2anr 478 . . . . . . . . 9
49 fco 5746 . . . . . . . . 9
5043, 48, 49syl2anc 661 . . . . . . . 8
5150ex 434 . . . . . . 7
5238, 51syl5 32 . . . . . 6
53 f1odm 5825 . . . . . . . . 9
5453adantr 465 . . . . . . . 8
5526dmex 6733 . . . . . . . 8
5654, 55syl6eqelr 2554 . . . . . . 7
57 f1odm 5825 . . . . . . . . 9
5857adantl 466 . . . . . . . 8
5933dmex 6733 . . . . . . . 8
6058, 59syl6eqelr 2554 . . . . . . 7
6156, 60elmapd 7453 . . . . . 6
6252, 61sylibrd 234 . . . . 5
63 coass 5531 . . . . . . . . . . 11
64 f1ococnv2 5847 . . . . . . . . . . . . . 14
6564ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13
6665coeq1d 5169 . . . . . . . . . . . 12
6748adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13
68 fcoi2 5765 . . . . . . . . . . . . 13
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7066, 69eqtrd 2498 . . . . . . . . . . 11
7163, 70syl5eqr 2512 . . . . . . . . . 10
7271eqeq2d 2471 . . . . . . . . 9
73 coass 5531 . . . . . . . . . . . 12
74 f1ococnv1 5849 . . . . . . . . . . . . . . 15
7574ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14
7675coeq2d 5170 . . . . . . . . . . . . 13
7712adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14
78 fcoi1 5764 . . . . . . . . . . . . . 14
7977, 78syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
8076, 79eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12
8173, 80syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11
8281eqeq2d 2471 . . . . . . . . . 10
83 eqcom 2466 . . . . . . . . . 10
8482, 83syl6bb 261 . . . . . . . . 9
8572, 84bitr4d 256 . . . . . . . 8
86 f1of1 5820 . . . . . . . . . 10
8786ad2antrr 725 . . . . . . . . 9
88 simprl 756 . . . . . . . . 9
8950adantrl 715 . . . . . . . . 9
90 cocan1 6194 . . . . . . . . 9
9187, 88, 89, 90syl3anc 1228 . . . . . . . 8
9230adantr 465 . . . . . . . . 9
93 ffn 5736 . . . . . . . . . 10
9493ad2antll 728 . . . . . . . . 9
9519adantrr 716 . . . . . . . . . 10
96 ffn 5736 . . . . . . . . . 10
9795, 96syl 16 . . . . . . . . 9
98 cocan2 6195 . . . . . . . . 9
9992, 94, 97, 98syl3anc 1228 . . . . . . . 8
10085, 91, 993bitr3d 283 . . . . . . 7
101100ex 434 . . . . . 6
1028, 38, 101syl2ani 656 . . . . 5
1035, 7, 37, 62, 102en3d 7572 . . . 4
104103exlimivv 1723 . . 3
1053, 104sylbir 213 . 2
1061, 2, 105syl2anb 479 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818   cvv 3109   class class class wbr 4452   cid 4795  `'ccnv 5003  domcdm 5004  rancrn 5005  |`cres 5006  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296   cmap 7439   cen 7533
This theorem is referenced by:  mapdom1  7702  mapdom2  7708  pwen  7710  mappwen  8514  mapcdaen  8585  cfpwsdom  8980  rpnnen  13960  rexpen  13961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-en 7537
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