MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfien Unicode version

Theorem mapfien 7887
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by AV, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s
mapfien.t
mapfien.w
mapfien.f
mapfien.g
mapfien.a
mapfien.b
mapfien.c
mapfien.d
mapfien.z
Assertion
Ref Expression
mapfien
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   , ,   , ,   ,   ,   S,   ,   ,   ,

Proof of Theorem mapfien
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . 2
2 mapfien.g . . . . . . 7
3 f1of 5821 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
54adantr 465 . . . . 5
6 breq1 4455 . . . . . . . . . 10
7 mapfien.s . . . . . . . . . 10
86, 7elrab2 3259 . . . . . . . . 9
98simplbi 460 . . . . . . . 8
109adantl 466 . . . . . . 7
11 elmapi 7460 . . . . . . 7
1210, 11syl 16 . . . . . 6
13 mapfien.f . . . . . . . 8
14 f1of 5821 . . . . . . . 8
1513, 14syl 16 . . . . . . 7
1615adantr 465 . . . . . 6
17 fco 5746 . . . . . 6
1812, 16, 17syl2anc 661 . . . . 5
19 fco 5746 . . . . 5
205, 18, 19syl2anc 661 . . . 4
21 mapfien.d . . . . . 6
22 mapfien.c . . . . . 6
2321, 22elmapd 7453 . . . . 5
2423adantr 465 . . . 4
2520, 24mpbird 232 . . 3
26 mapfien.t . . . 4
27 mapfien.w . . . 4
28 mapfien.a . . . 4
29 mapfien.b . . . 4
30 mapfien.z . . . 4
317, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem1 7884 . . 3
32 breq1 4455 . . . 4
3332, 26elrab2 3259 . . 3
3425, 31, 33sylanbrc 664 . 2
357, 26, 27, 13, 2, 28, 29, 22, 21, 30mapfienlem3 7886 . 2
36 coass 5531 . . . . . 6
3713adantr 465 . . . . . . . . 9
38 f1ococnv1 5849 . . . . . . . . 9
3937, 38syl 16 . . . . . . . 8
4039coeq2d 5170 . . . . . . 7
41 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . . 12
42 f1of 5821 . . . . . . . . . . . 12
432, 41, 423syl 20 . . . . . . . . . . 11
4443adantr 465 . . . . . . . . . 10
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13
46 breq1 4455 . . . . . . . . . . . . . 14
4746, 26elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . 13
4845, 47sylib 196 . . . . . . . . . . . 12
4948simpld 459 . . . . . . . . . . 11
50 elmapi 7460 . . . . . . . . . . 11
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . 10
52 fco 5746 . . . . . . . . . 10
5344, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . 9
5453adantrl 715 . . . . . . . 8
55 fcoi1 5764 . . . . . . . 8
5654, 55syl 16 . . . . . . 7
5740, 56eqtrd 2498 . . . . . 6
5836, 57syl5eq 2510 . . . . 5
5958eqeq2d 2471 . . . 4
60 coass 5531 . . . . . . 7
612adantr 465 . . . . . . . . . 10
62 f1ococnv1 5849 . . . . . . . . . 10
6361, 62syl 16 . . . . . . . . 9
6463coeq1d 5169 . . . . . . . 8
6518adantrr 716 . . . . . . . . 9
66 fcoi2 5765 . . . . . . . . 9
6765, 66syl 16 . . . . . . . 8
6864, 67eqtrd 2498 . . . . . . 7
6960, 68syl5eqr 2512 . . . . . 6
7069eqeq2d 2471 . . . . 5
71 eqcom 2466 . . . . 5
7270, 71syl6bb 261 . . . 4
7359, 72bitr4d 256 . . 3
74 f1ofo 5828 . . . . 5
7537, 74syl 16 . . . 4
76 ffn 5736 . . . . . 6
7710, 11, 763syl 20 . . . . 5
7877adantrr 716 . . . 4
79 f1ocnv 5833 . . . . . . . . 9
80 f1of 5821 . . . . . . . . 9
8113, 79, 803syl 20 . . . . . . . 8
8281adantr 465 . . . . . . 7
83 fco 5746 . . . . . . 7
8453, 82, 83syl2anc 661 . . . . . 6
85 ffn 5736 . . . . . 6
8684, 85syl 16 . . . . 5
8786adantrl 715 . . . 4
88 cocan2 6195 . . . 4
8975, 78, 87, 88syl3anc 1228 . . 3
902, 41syl 16 . . . . . 6
9190adantr 465 . . . . 5
92 f1of1 5820 . . . . 5
9391, 92syl 16 . . . 4
9451adantrl 715 . . . 4
9520adantrr 716 . . . 4
96 cocan1 6194 . . . 4
9793, 94, 95, 96syl3anc 1228 . . 3
9873, 89, 973bitr3d 283 . 2
991, 34, 35, 98f1o2d 6527 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510   cid 4795  `'ccnv 5003  |`cres 5006  o.ccom 5008  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   cfsupp 7849
This theorem is referenced by:  mapfien2  7888  wemapwe  8160  oef1o  8162  fcobijfs  27549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540  df-fsupp 7850
  Copyright terms: Public domain W3C validator