MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfien2 Unicode version

Theorem mapfien2 7888
Description: Equinumerousity relation for sets of finitely supported functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 9-Jul-2015.) (Revised by AV, 7-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien2.s
mapfien2.t
mapfien2.ac
mapfien2.bd
mapfien2.z
mapfien2.w
Assertion
Ref Expression
mapfien2
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem mapfien2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapfien2.z . . 3
2 mapfien2.w . . 3
3 mapfien2.bd . . 3
4 enfixsn 7646 . . 3
51, 2, 3, 4syl3anc 1228 . 2
6 mapfien2.ac . . . . 5
7 bren 7545 . . . . 5
86, 7sylib 196 . . . 4
9 mapfien2.s . . . . . . . . . 10
10 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
11 eqid 2457 . . . . . . . . . 10
12 f1ocnv 5833 . . . . . . . . . . 11
13123ad2ant2 1018 . . . . . . . . . 10
14 simp3 998 . . . . . . . . . 10
1563ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
16 relen 7541 . . . . . . . . . . . 12
1716brrelexi 5045 . . . . . . . . . . 11
1815, 17syl 16 . . . . . . . . . 10
1933ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11
2016brrelexi 5045 . . . . . . . . . . 11
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10
2216brrelex2i 5046 . . . . . . . . . . 11
2315, 22syl 16 . . . . . . . . . 10
2416brrelex2i 5046 . . . . . . . . . . 11
2519, 24syl 16 . . . . . . . . . 10
2613ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10
279, 10, 11, 13, 14, 18, 21, 23, 25, 26mapfien 7887 . . . . . . . . 9
28 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11
299, 28rabex2 4605 . . . . . . . . . 10
3029f1oen 7556 . . . . . . . . 9
3127, 30syl 16 . . . . . . . 8
32313adant3r 1225 . . . . . . 7
33 breq2 4456 . . . . . . . . . . 11
3433rabbidv 3101 . . . . . . . . . 10
35 mapfien2.t . . . . . . . . . 10
3634, 35syl6eqr 2516 . . . . . . . . 9
3736adantl 466 . . . . . . . 8
38373ad2ant3 1019 . . . . . . 7
3932, 38breqtrd 4476 . . . . . 6
40393exp 1195 . . . . 5
4140exlimdv 1724 . . . 4
428, 41mpd 15 . . 3
4342exlimdv 1724 . 2
445, 43mpd 15 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109   class class class wbr 4452  e.cmpt 4510  `'ccnv 5003  o.ccom 5008  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   cen 7533   cfsupp 7849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-supp 6919  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540  df-fsupp 7850
  Copyright terms: Public domain W3C validator