MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienOLD Unicode version

Theorem mapfienOLD 8159
Description: A bijection of the base sets induces a bijection on the set of finitely supported functions. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) Obsolete version of mapfien 7887 as of 3-Jul-2019. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfienOLD.s
mapfienOLD.t
mapfienOLD.w
mapfienOLD.f
mapfienOLD.g
mapfienOLD.a
mapfienOLD.b
mapfienOLD.c
mapfienOLD.d
mapfienOLD.z
Assertion
Ref Expression
mapfienOLD
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   , ,   , ,   ,   ,   S,   ,   ,   ,

Proof of Theorem mapfienOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . 2
2 mapfienOLD.g . . . . . . 7
3 f1of 5821 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
54adantr 465 . . . . 5
6 cnveq 5181 . . . . . . . . . . . 12
76imaeq1d 5341 . . . . . . . . . . 11
87eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
9 mapfienOLD.s . . . . . . . . . 10
108, 9elrab2 3259 . . . . . . . . 9
1110simplbi 460 . . . . . . . 8
1211adantl 466 . . . . . . 7
13 elmapi 7460 . . . . . . 7
1412, 13syl 16 . . . . . 6
15 mapfienOLD.f . . . . . . . 8
16 f1of 5821 . . . . . . . 8
1715, 16syl 16 . . . . . . 7
1817adantr 465 . . . . . 6
19 fco 5746 . . . . . 6
2014, 18, 19syl2anc 661 . . . . 5
21 fco 5746 . . . . 5
225, 20, 21syl2anc 661 . . . 4
23 mapfienOLD.d . . . . . 6
24 mapfienOLD.c . . . . . 6
25 elmapg 7452 . . . . . 6
2623, 24, 25syl2anc 661 . . . . 5
2726adantr 465 . . . 4
2822, 27mpbird 232 . . 3
29 cnvco 5193 . . . . . . 7
3029imaeq1i 5339 . . . . . 6
31 imaco 5517 . . . . . 6
3230, 31eqtri 2486 . . . . 5
33 cnvco 5193 . . . . . 6
3433imaeq1i 5339 . . . . 5
35 imaco 5517 . . . . 5
3632, 34, 353eqtri 2490 . . . 4
3715adantr 465 . . . . . 6
38 dff1o3 5827 . . . . . . 7
3938simprbi 464 . . . . . 6
4037, 39syl 16 . . . . 5
4110simprbi 464 . . . . . . 7
4241adantl 466 . . . . . 6
432adantr 465 . . . . . . . . 9
44 f1ofun 5823 . . . . . . . . 9
45 funcnvcnv 5651 . . . . . . . . 9
46 imadif 5668 . . . . . . . . 9
4743, 44, 45, 464syl 21 . . . . . . . 8
48 ssv 3523 . . . . . . . . . 10
49 ssdif 3638 . . . . . . . . . 10
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . 9
51 mapfienOLD.z . . . . . . . . . . . . 13
5251adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
53 mapfienOLD.w . . . . . . . . . . . . . . 15
5453eqcomi 2470 . . . . . . . . . . . . . 14
55 fvex 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
5655elsnc 4053 . . . . . . . . . . . . . 14
5754, 56mpbir 209 . . . . . . . . . . . . 13
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
59 ffn 5736 . . . . . . . . . . . . 13
60 elpreima 6007 . . . . . . . . . . . . 13
615, 59, 603syl 20 . . . . . . . . . . . 12
6252, 58, 61mpbir2and 922 . . . . . . . . . . 11
6362snssd 4175 . . . . . . . . . 10
6463sscond 3640 . . . . . . . . 9
6550, 64syl5ss 3514 . . . . . . . 8
6647, 65eqsstrd 3537 . . . . . . 7
67 imass2 5377 . . . . . . 7
6866, 67syl 16 . . . . . 6
69 ssfi 7760 . . . . . 6
7042, 68, 69syl2anc 661 . . . . 5
71 imafi 7833 . . . . 5
7240, 70, 71syl2anc 661 . . . 4
7336, 72syl5eqel 2549 . . 3
74 cnveq 5181 . . . . . 6
7574imaeq1d 5341 . . . . 5
7675eleq1d 2526 . . . 4
77 mapfienOLD.t . . . 4
7876, 77elrab2 3259 . . 3
7928, 73, 78sylanbrc 664 . 2
80 f1ocnv 5833 . . . . . . . 8
81 f1of 5821 . . . . . . . 8
822, 80, 813syl 20 . . . . . . 7
8382adantr 465 . . . . . 6
84 simpr 461 . . . . . . . . 9
85 cnveq 5181 . . . . . . . . . . . 12
8685imaeq1d 5341 . . . . . . . . . . 11
8786eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10
8887, 77elrab2 3259 . . . . . . . . 9
8984, 88sylib 196 . . . . . . . 8
9089simpld 459 . . . . . . 7
91 elmapi 7460 . . . . . . 7
9290, 91syl 16 . . . . . 6
93 fco 5746 . . . . . 6
9483, 92, 93syl2anc 661 . . . . 5
95 f1ocnv 5833 . . . . . . 7
96 f1of 5821 . . . . . . 7
9715, 95, 963syl 20 . . . . . 6
9897adantr 465 . . . . 5
99 fco 5746 . . . . 5
10094, 98, 99syl2anc 661 . . . 4
101 mapfienOLD.b . . . . . 6
102 mapfienOLD.a . . . . . 6
103 elmapg 7452 . . . . . 6
104101, 102, 103syl2anc 661 . . . . 5
105104adantr 465 . . . 4
106100, 105mpbird 232 . . 3
107 f1ofun 5823 . . . . . 6
10815, 107syl 16 . . . . 5
109108adantr 465 . . . 4
110 cnvco 5193 . . . . . . 7
111110imaeq1i 5339 . . . . . 6
112 imaco 5517 . . . . . 6
113 imacnvcnv 5477 . . . . . . 7
114113imaeq2i 5340 . . . . . 6
115111, 112, 1143eqtri 2490 . . . . 5
11688a1i 11 . . . . . . 7
117116simplbda 624 . . . . . 6
1182adantr 465 . . . . . . . . 9
119 dff1o3 5827 . . . . . . . . . 10
120119simprbi 464 . . . . . . . . 9
121 imadif 5668 . . . . . . . . 9
122118, 120, 1213syl 20 . . . . . . . 8
123 ssv 3523 . . . . . . . . . 10
124 ssdif 3638 . . . . . . . . . 10
125123, 124ax-mp 5 . . . . . . . . 9
126118, 3, 593syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
12751adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
128127snssd 4175 . . . . . . . . . . . . 13
129 snidg 4055 . . . . . . . . . . . . . 14
130127, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
131 fnfvima 6150 . . . . . . . . . . . . 13
132126, 128, 130, 131syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12
13353, 132syl5eqel 2549 . . . . . . . . . . 11
134133snssd 4175 . . . . . . . . . 10
135134sscond 3640 . . . . . . . . 9
136125, 135syl5ss 3514 . . . . . . . 8
137122, 136eqsstrd 3537 . . . . . . 7
138 imass2 5377 . . . . . . 7
139137, 138syl 16 . . . . . 6
140 ssfi 7760 . . . . . 6
141117, 139, 140syl2anc 661 . . . . 5
142115, 141syl5eqel 2549 . . . 4
143 imafi 7833 . . . 4
144109, 142, 143syl2anc 661 . . 3
145 cnveq 5181 . . . . . . . 8
146 cnvco 5193 . . . . . . . 8
147145, 146syl6eq 2514 . . . . . . 7
148147imaeq1d 5341 . . . . . 6
149 imaco 5517 . . . . . . 7
150 imacnvcnv 5477 . . . . . . 7
151149, 150eqtri 2486 . . . . . 6
152148, 151syl6eq 2514 . . . . 5
153152eleq1d 2526 . . . 4
154153, 9elrab2 3259 . . 3
155106, 144, 154sylanbrc 664 . 2
156 coass 5531 . . . . . 6
15715adantr 465 . . . . . . . . 9
158 f1ococnv1 5849 . . . . . . . . 9
159157, 158syl 16 . . . . . . . 8
160159coeq2d 5170 . . . . . . 7
16194adantrl 715 . . . . . . . 8
162 fcoi1 5764 . . . . . . . 8
163161, 162syl 16 . . . . . . 7
164160, 163eqtrd 2498 . . . . . 6
165156, 164syl5eq 2510 . . . . 5
166165eqeq2d 2471 . . . 4
167 coass 5531 . . . . . . 7
1682adantr 465 . . . . . . . . . 10
169 f1ococnv1 5849 . . . . . . . . . 10
170168, 169syl 16 . . . . . . . . 9
171170coeq1d 5169 . . . . . . . 8
17220adantrr 716 . . . . . . . . 9
173 fcoi2 5765 . . . . . . . . 9
174172, 173syl 16 . . . . . . . 8
175171, 174eqtrd 2498 . . . . . . 7
176167, 175syl5eqr 2512 . . . . . 6
177176eqeq2d 2471 . . . . 5
178 eqcom 2466 . . . . 5
179177, 178syl6bb 261 . . . 4
180166, 179bitr4d 256 . . 3
181 f1ofo 5828 . . . . 5
182157, 181syl 16 . . . 4
183 ffn 5736 . . . . . 6
18412, 13, 1833syl 20 . . . . 5
185184adantrr 716 . . . 4
186 ffn 5736 . . . . . 6
187100, 186syl 16 . . . . 5
188187adantrl 715 . . . 4
189 cocan2 6195 . . . 4
190182, 185, 188, 189syl3anc 1228 . . 3
1912, 80syl 16 . . . . . 6
192191adantr 465 . . . . 5
193 f1of1 5820 . . . . 5
194192, 193syl 16 . . . 4
19592adantrl 715 . . . 4
19622adantrr 716 . . . 4
197 cocan1 6194 . . . 4
198194, 195, 196, 197syl3anc 1228 . . 3
199180, 190, 1983bitr3d 283 . 2
2001, 79, 155, 199f1o2d 6527 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  {crab 2811   cvv 3109  \cdif 3472  C_wss 3475  {csn 4029  e.cmpt 4510   cid 4795  `'ccnv 5003  |`cres 5006  "cima 5007  o.ccom 5008  Funwfun 5587  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -1-1->wf1 5590  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   cfn 7536
This theorem is referenced by:  wemapweOLD  8161  oef1oOLD  8163  mapfien2OLD  31042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-pss 3491  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-tp 4034  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6701  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-1o 7149  df-er 7330  df-map 7441  df-en 7537  df-dom 7538  df-fin 7540
  Copyright terms: Public domain W3C validator