MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsn Unicode version

Theorem mapsn 7480
Description: The value of set exponentiation with a singleton exponent. Theorem 98 of [Suppes] p. 89. (Contributed by NM, 10-Dec-2003.)
Hypotheses
Ref Expression
map0.1
map0.2
Assertion
Ref Expression
mapsn
Distinct variable groups:   , ,   , ,

Proof of Theorem mapsn
StepHypRef Expression
1 map0.1 . . . 4
2 snex 4693 . . . 4
31, 2elmap 7467 . . 3
4 ffn 5736 . . . . . . . 8
5 map0.2 . . . . . . . . 9
65snid 4057 . . . . . . . 8
7 fneu 5690 . . . . . . . 8
84, 6, 7sylancl 662 . . . . . . 7
9 euabsn 4102 . . . . . . . 8
10 frel 5739 . . . . . . . . . . . 12
11 relimasn 5365 . . . . . . . . . . . 12
1210, 11syl 16 . . . . . . . . . . 11
13 imadmrn 5352 . . . . . . . . . . . 12
14 fdm 5740 . . . . . . . . . . . . 13
1514imaeq2d 5342 . . . . . . . . . . . 12
1613, 15syl5reqr 2513 . . . . . . . . . . 11
1712, 16eqtr3d 2500 . . . . . . . . . 10
1817eqeq1d 2459 . . . . . . . . 9
1918exbidv 1714 . . . . . . . 8
209, 19syl5bb 257 . . . . . . 7
218, 20mpbid 210 . . . . . 6
22 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
2322snid 4057 . . . . . . . . . 10
24 eleq2 2530 . . . . . . . . . 10
2523, 24mpbiri 233 . . . . . . . . 9
26 frn 5742 . . . . . . . . . 10
2726sseld 3502 . . . . . . . . 9
2825, 27syl5 32 . . . . . . . 8
29 dffn4 5806 . . . . . . . . . . . 12
304, 29sylib 196 . . . . . . . . . . 11
31 fof 5800 . . . . . . . . . . 11
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . 10
33 feq3 5720 . . . . . . . . . 10
3432, 33syl5ibcom 220 . . . . . . . . 9
355, 22fsn 6069 . . . . . . . . 9
3634, 35syl6ib 226 . . . . . . . 8
3728, 36jcad 533 . . . . . . 7
3837eximdv 1710 . . . . . 6
3921, 38mpd 15 . . . . 5
40 df-rex 2813 . . . . 5
4139, 40sylibr 212 . . . 4
425, 22f1osn 5858 . . . . . . . . 9
43 f1oeq1 5812 . . . . . . . . 9
4442, 43mpbiri 233 . . . . . . . 8
45 f1of 5821 . . . . . . . 8
4644, 45syl 16 . . . . . . 7
47 snssi 4174 . . . . . . 7
48 fss 5744 . . . . . . 7
4946, 47, 48syl2an 477 . . . . . 6
5049expcom 435 . . . . 5
5150rexlimiv 2943 . . . 4
5241, 51impbii 188 . . 3
533, 52bitri 249 . 2
5453abbi2i 2590 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E!weu 2282  {cab 2442  E.wrex 2808   cvv 3109  C_wss 3475  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  domcdm 5004  rancrn 5005  "cima 5007  Relwrel 5009  Fnwfn 5588  -->wf 5589  -onto->wfo 5591  -1-1-onto->wf1o 5592  (class class class)co 6296   cmap 7439
This theorem is referenced by:  mapsnen  7613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441
  Copyright terms: Public domain W3C validator