Theorem mapsncnv 7485

Description: Expression for the inverse of the canonical map between a set and its set of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s
mapsncnv.b
mapsncnv.x
mapsncnv.f

Assertion

Ref	Expression
mapsncnv

Distinct variable groups:   ,,   ,S,   ,

Proof of Theorem mapsncnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elmapi 7460	. . . . . . . . 9
2		mapsncnv.x	. . . . . . . . . 10
3	2	snid 4057	. . . . . . . . 9
4		ffvelrn 6029	. . . . . . . . 9
5	1, 3, 4	sylancl 662	. . . . . . . 8
6		eqid 2457	. . . . . . . . 9
7		mapsncnv.b	. . . . . . . . 9
8	6, 7, 2	mapsnconst 7484	. . . . . . . 8
9	5, 8	jca 532	. . . . . . 7
10		eleq1 2529	. . . . . . . 8
11		sneq 4039	. . . . . . . . . 10
12	11	xpeq2d 5028	. . . . . . . . 9
13	12	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
14	10, 13	anbi12d 710	. . . . . . 7
15	9, 14	syl5ibrcom 222	. . . . . 6
16	15	imp 429	. . . . 5
17		fconst6g 5779	. . . . . . . . 9
18		snex 4693	. . . . . . . . . 10
19	7, 18	elmap 7467	. . . . . . . . 9
20	17, 19	sylibr 212	. . . . . . . 8
21		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
22	21	fvconst2 6126	. . . . . . . . . 10
23	3, 22	mp1i 12	. . . . . . . . 9
24	23	eqcomd 2465	. . . . . . . 8
25	20, 24	jca 532	. . . . . . 7
26		eleq1 2529	. . . . . . . 8
27		fveq1 5870	. . . . . . . . 9
28	27	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
29	26, 28	anbi12d 710	. . . . . . 7
30	25, 29	syl5ibrcom 222	. . . . . 6
31	30	imp 429	. . . . 5
32	16, 31	impbii 188	. . . 4
33		mapsncnv.s	. . . . . . 7
34	33	oveq2i 6307	. . . . . 6
35	34	eleq2i 2535	. . . . 5
36	35	anbi1i 695	. . . 4
37	33	xpeq1i 5024	. . . . . 6
38	37	eqeq2i 2475	. . . . 5
39	38	anbi2i 694	. . . 4
40	32, 36, 39	3bitr4i 277	. . 3
41	40	opabbii 4516	. 2
42		mapsncnv.f	. . . . 5
43		df-mpt 4512	. . . . 5
44	42, 43	eqtri 2486	. . . 4
45	44	cnveqi 5182	. . 3
46		cnvopab 5412	. . 3
47	45, 46	eqtri 2486	. 2
48		df-mpt 4512	. 2
49	41, 47, 48	3eqtr4i 2496	1

Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  {csn 4029  {copab 4509  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cmap 7439

This theorem is referenced by:  mapsnf1o2  7486  mapsnf1o3  7487  coe1sfi  18252  coe1sfiOLD  18253  evl1var  18372  pf1mpf  18388  pf1ind  18391  deg1val  22496  deg1valOLD  22497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441