MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsncnv Unicode version

Theorem mapsncnv 7485
Description: Expression for the inverse of the canonical map between a set and its set of singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsncnv.s
mapsncnv.b
mapsncnv.x
mapsncnv.f
Assertion
Ref Expression
mapsncnv
Distinct variable groups:   , ,   ,S,   ,

Proof of Theorem mapsncnv
StepHypRef Expression
1 elmapi 7460 . . . . . . . . 9
2 mapsncnv.x . . . . . . . . . 10
32snid 4057 . . . . . . . . 9
4 ffvelrn 6029 . . . . . . . . 9
51, 3, 4sylancl 662 . . . . . . . 8
6 eqid 2457 . . . . . . . . 9
7 mapsncnv.b . . . . . . . . 9
86, 7, 2mapsnconst 7484 . . . . . . . 8
95, 8jca 532 . . . . . . 7
10 eleq1 2529 . . . . . . . 8
11 sneq 4039 . . . . . . . . . 10
1211xpeq2d 5028 . . . . . . . . 9
1312eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
1410, 13anbi12d 710 . . . . . . 7
159, 14syl5ibrcom 222 . . . . . 6
1615imp 429 . . . . 5
17 fconst6g 5779 . . . . . . . . 9
18 snex 4693 . . . . . . . . . 10
197, 18elmap 7467 . . . . . . . . 9
2017, 19sylibr 212 . . . . . . . 8
21 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
2221fvconst2 6126 . . . . . . . . . 10
233, 22mp1i 12 . . . . . . . . 9
2423eqcomd 2465 . . . . . . . 8
2520, 24jca 532 . . . . . . 7
26 eleq1 2529 . . . . . . . 8
27 fveq1 5870 . . . . . . . . 9
2827eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
2926, 28anbi12d 710 . . . . . . 7
3025, 29syl5ibrcom 222 . . . . . 6
3130imp 429 . . . . 5
3216, 31impbii 188 . . . 4
33 mapsncnv.s . . . . . . 7
3433oveq2i 6307 . . . . . 6
3534eleq2i 2535 . . . . 5
3635anbi1i 695 . . . 4
3733xpeq1i 5024 . . . . . 6
3837eqeq2i 2475 . . . . 5
3938anbi2i 694 . . . 4
4032, 36, 393bitr4i 277 . . 3
4140opabbii 4516 . 2
42 mapsncnv.f . . . . 5
43 df-mpt 4512 . . . . 5
4442, 43eqtri 2486 . . . 4
4544cnveqi 5182 . . 3
46 cnvopab 5412 . . 3
4745, 46eqtri 2486 . 2
48 df-mpt 4512 . 2
4941, 47, 483eqtr4i 2496 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  {csn 4029  {copab 4509  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439
This theorem is referenced by:  mapsnf1o2  7486  mapsnf1o3  7487  coe1sfi  18252  coe1sfiOLD  18253  evl1var  18372  pf1mpf  18388  pf1ind  18391  deg1val  22496  deg1valOLD  22497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441
  Copyright terms: Public domain W3C validator