Theorem mapsnconst 7484

Description: Every singleton map is a constant function. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s
mapsncnv.b
mapsncnv.x

Assertion

Ref	Expression
mapsnconst

Proof of Theorem mapsnconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapsncnv.b	. . . 4
2		snex 4693	. . . 4
3	1, 2	elmap 7467	. . 3
4		mapsncnv.x	. . . . . 6
5	4	fsn2 6071	. . . . 5
6	5	simprbi 464	. . . 4
7		mapsncnv.s	. . . . . 6
8	7	xpeq1i 5024	. . . . 5
9		fvex 5881	. . . . . 6
10	4, 9	xpsn 6073	. . . . 5
11	8, 10	eqtr2i 2487	. . . 4
12	6, 11	syl6eq 2514	. . 3
13	3, 12	sylbi 195	. 2
14	7	oveq2i 6307	. 2
15	13, 14	eleq2s 2565	1

Syntax hints:  ->wi 4  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035  X.cxp 5002  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cmap 7439

This theorem is referenced by:  mapsncnv  7485  fvcoe1  18246  coe1mul2lem1  18308  coe1mul2  18310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441