Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapsnen Unicode version

Theorem mapsnen 7613
 Description: Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mapsnen.1
mapsnen.2
Assertion
Ref Expression
mapsnen

Proof of Theorem mapsnen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6324 . 2
2 mapsnen.1 . 2
3 fvex 5881 . . 3
43a1i 11 . 2
5 snex 4693 . . 3
65a1i 11 . 2
7 mapsnen.2 . . . . . . 7
82, 7mapsn 7480 . . . . . 6
98abeq2i 2584 . . . . 5
109anbi1i 695 . . . 4
11 r19.41v 3009 . . . 4
12 df-rex 2813 . . . 4
1310, 11, 123bitr2i 273 . . 3
14 fveq1 5870 . . . . . . . . . 10
15 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
167, 15fvsn 6104 . . . . . . . . . 10
1714, 16syl6eq 2514 . . . . . . . . 9
1817eqeq2d 2471 . . . . . . . 8
19 equcom 1794 . . . . . . . 8
2018, 19syl6bb 261 . . . . . . 7
2120pm5.32i 637 . . . . . 6
2221anbi2i 694 . . . . 5
23 anass 649 . . . . 5
24 ancom 450 . . . . 5
2522, 23, 243bitr2i 273 . . . 4
2625exbii 1667 . . 3
27 vex 3112 . . . 4
28 eleq1 2529 . . . . 5
29 opeq2 4218 . . . . . . 7
3029sneqd 4041 . . . . . 6
3130eqeq2d 2471 . . . . 5
3228, 31anbi12d 710 . . . 4
3327, 32ceqsexv 3146 . . 3
3413, 26, 333bitri 271 . 2
351, 2, 4, 6, 34en2i 7573 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808   cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296   cmap 7439   cen 7533 This theorem is referenced by:  map2xp  7707  mapdom3  7709  ackbij1lem5  8625  pwxpndom2  9064  hashmap  12493 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441  df-en 7537
 Copyright terms: Public domain W3C validator