Theorem mapsnen 7613

Description: Set exponentiation to a singleton exponent is equinumerous to its base. Exercise 4.43 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 17-Dec-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsnen.1
mapsnen.2

Assertion

Ref	Expression
mapsnen

Proof of Theorem mapsnen

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6324	. 2
2		mapsnen.1	. 2
3		fvex 5881	. . 3
4	3	a1i 11	. 2
5		snex 4693	. . 3
6	5	a1i 11	. 2
7		mapsnen.2	. . . . . . 7
8	2, 7	mapsn 7480	. . . . . 6
9	8	abeq2i 2584	. . . . 5
10	9	anbi1i 695	. . . 4
11		r19.41v 3009	. . . 4
12		df-rex 2813	. . . 4
13	10, 11, 12	3bitr2i 273	. . 3
14		fveq1 5870	. . . . . . . . . 10
15		vex 3112	. . . . . . . . . . 11
16	7, 15	fvsn 6104	. . . . . . . . . 10
17	14, 16	syl6eq 2514	. . . . . . . . 9
18	17	eqeq2d 2471	. . . . . . . 8
19		equcom 1794	. . . . . . . 8
20	18, 19	syl6bb 261	. . . . . . 7
21	20	pm5.32i 637	. . . . . 6
22	21	anbi2i 694	. . . . 5
23		anass 649	. . . . 5
24		ancom 450	. . . . 5
25	22, 23, 24	3bitr2i 273	. . . 4
26	25	exbii 1667	. . 3
27		vex 3112	. . . 4
28		eleq1 2529	. . . . 5
29		opeq2 4218	. . . . . . 7
30	29	sneqd 4041	. . . . . 6
31	30	eqeq2d 2471	. . . . 5
32	28, 31	anbi12d 710	. . . 4
33	27, 32	ceqsexv 3146	. . 3
34	13, 26, 33	3bitri 271	. 2
35	1, 2, 4, 6, 34	en2i 7573	1

Syntax hints:  /\wa 369  =wceq 1395  E.wex 1612  e.wcel 1818  E.wrex 2808  cvv 3109  {csn 4029  <.cop 4035   class class class wbr 4452  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cmap 7439  cen 7533

This theorem is referenced by:  map2xp  7707  mapdom3  7709  ackbij1lem5  8625  pwxpndom2  9064  hashmap  12493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7441  df-en 7537