Theorem mapsnf1o2 7486

Description: Explicit bijection between a set and its singleton functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapsncnv.s
mapsncnv.b
mapsncnv.x
mapsncnv.f

Assertion

Ref	Expression
mapsnf1o2

Distinct variable groups:   ,   ,S

Proof of Theorem mapsnf1o2

Dummy variable is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5881	. . 3
2		mapsncnv.f	. . 3
3	1, 2	fnmpti 5714	. 2
4		mapsncnv.s	. . . . 5
5		snex 4693	. . . . 5
6	4, 5	eqeltri 2541	. . . 4
7		snex 4693	. . . 4
8	6, 7	xpex 6604	. . 3
9		mapsncnv.b	. . . 4
10		mapsncnv.x	. . . 4
11	4, 9, 10, 2	mapsncnv 7485	. . 3
12	8, 11	fnmpti 5714	. 2
13		dff1o4 5829	. 2
14	3, 12, 13	mpbir2an 920	1

Syntax hints:  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  {csn 4029  e.cmpt 4510  X.cxp 5002  `'ccnv 5003  Fnwfn 5588  -1-1-onto->wf1o 5592  `cfv 5593  (class class class)co 6296  cmap 7439

This theorem is referenced by:  mapsnf1o3  7487  coe1sfi  18252  coe1sfiOLD  18253  coe1mul2lem2  18309  ply1coe  18337  ply1coeOLD  18338  evl1var  18372  pf1mpf  18388  pf1ind  18391  deg1ldg  22492  deg1leb  22495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441