Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapunen Unicode version

Theorem mapunen 7564
 Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a disjoint union. Exercise 4.45 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapunen

Proof of Theorem mapunen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6199 . . 3
21a1i 11 . 2
3 ovex 6199 . . . 4
4 ovex 6199 . . . 4
53, 4xpex 6592 . . 3
65a1i 11 . 2
7 elmapi 7318 . . . . 5
8 ssun1 3601 . . . . 5
9 fssres 5660 . . . . 5
107, 8, 9sylancl 662 . . . 4
11 ssun2 3602 . . . . 5
12 fssres 5660 . . . . 5
137, 11, 12sylancl 662 . . . 4
1410, 13jca 532 . . 3
15 opelxp 4951 . . . 4
16 simpl3 993 . . . . . 6
17 simpl1 991 . . . . . 6
18 elmapg 7311 . . . . . 6
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5
20 simpl2 992 . . . . . 6
21 elmapg 7311 . . . . . 6
2216, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5
2319, 22anbi12d 710 . . . 4
2415, 23syl5bb 257 . . 3
2514, 24syl5ibr 221 . 2
26 xp1st 6690 . . . . . . 7
2726adantl 466 . . . . . 6
28 elmapi 7318 . . . . . 6
2927, 28syl 16 . . . . 5
30 xp2nd 6691 . . . . . . 7
3130adantl 466 . . . . . 6
32 elmapi 7318 . . . . . 6
3331, 32syl 16 . . . . 5
34 simplr 754 . . . . 5
35 fun2 5658 . . . . 5
3629, 33, 34, 35syl21anc 1218 . . . 4
3736ex 434 . . 3
38 unexg 6465 . . . . 5
3917, 20, 38syl2anc 661 . . . 4
40 elmapg 7311 . . . 4
4116, 39, 40syl2anc 661 . . 3
4237, 41sylibrd 234 . 2
43 1st2nd2 6697 . . . . . . 7
4443ad2antll 728 . . . . . 6
4529adantrl 715 . . . . . . . 8
4633adantrl 715 . . . . . . . 8
47 res0 5197 . . . . . . . . . 10
48 res0 5197 . . . . . . . . . 10
4947, 48eqtr4i 2481 . . . . . . . . 9
50 simplr 754 . . . . . . . . . 10
5150reseq2d 5192 . . . . . . . . 9
5250reseq2d 5192 . . . . . . . . 9
5349, 51, 523eqtr4a 2516 . . . . . . . 8
54 fresaunres1 5666 . . . . . . . 8
5545, 46, 53, 54syl3anc 1219 . . . . . . 7
56 fresaunres2 5665 . . . . . . . 8
5745, 46, 53, 56syl3anc 1219 . . . . . . 7
5855, 57opeq12d 4149 . . . . . 6
5944, 58eqtr4d 2493 . . . . 5
60 reseq1 5186 . . . . . . 7
61 reseq1 5186 . . . . . . 7
6260, 61opeq12d 4149 . . . . . 6
6362eqeq2d 2463 . . . . 5
6459, 63syl5ibrcom 222 . . . 4
65 ffn 5641 . . . . . . . 8
66 fnresdm 5602 . . . . . . . 8
677, 65, 663syl 20 . . . . . . 7
6867ad2antrl 727 . . . . . 6
6968eqcomd 2457 . . . . 5
70 vex 3055 . . . . . . . . . 10
7170resex 5232 . . . . . . . . 9
7270resex 5232 . . . . . . . . 9
7371, 72op1std 6671 . . . . . . . 8
7471, 72op2ndd 6672 . . . . . . . 8
7573, 74uneq12d 3593 . . . . . . 7
76 resundi 5206 . . . . . . 7
7775, 76syl6eqr 2508 . . . . . 6
7877eqeq2d 2463 . . . . 5
7969, 78syl5ibrcom 222 . . . 4
8064, 79impbid 191 . . 3
8180ex 434 . 2
822, 6, 25, 42, 81en3d 7430 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1757   cvv 3052  u.cun 3408  i^icin 3409  C_wss 3410   c0 3719  <.cop 3965   class class class wbr 4374  X.cxp 4920  |cres 4924  Fnwfn 5495  -->wf 5496  cfv 5500  (class class class)co 6174   c1st 6659   c2nd 6660   cmap 7298   cen 7391 This theorem is referenced by:  map2xp  7565  mapdom2  7566  mapcdaen  8438  ackbij1lem5  8478  hashmap  12283 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4495  ax-nul 4503  ax-pow 4552  ax-pr 4613  ax-un 6456 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3054  df-sbc 3269  df-csb 3371  df-dif 3413  df-un 3415  df-in 3417  df-ss 3424  df-nul 3720  df-if 3874  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4174  df-iun 4255  df-br 4375  df-opab 4433  df-mpt 4434  df-id 4718  df-xp 4928  df-rel 4929  df-cnv 4930  df-co 4931  df-dm 4932  df-rn 4933  df-res 4934  df-ima 4935  df-iota 5463  df-fun 5502  df-fn 5503  df-f 5504  df-f1 5505  df-fo 5506  df-f1o 5507  df-fv 5508  df-ov 6177  df-oprab 6178  df-mpt2 6179  df-1st 6661  df-2nd 6662  df-map 7300  df-en 7395
 Copyright terms: Public domain W3C validator