MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapunen Unicode version

Theorem mapunen 7706
Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a disjoint union. Exercise 4.45 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapunen

Proof of Theorem mapunen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6324 . . 3
21a1i 11 . 2
3 ovex 6324 . . . 4
4 ovex 6324 . . . 4
53, 4xpex 6604 . . 3
65a1i 11 . 2
7 elmapi 7460 . . . . 5
8 ssun1 3666 . . . . 5
9 fssres 5756 . . . . 5
107, 8, 9sylancl 662 . . . 4
11 ssun2 3667 . . . . 5
12 fssres 5756 . . . . 5
137, 11, 12sylancl 662 . . . 4
1410, 13jca 532 . . 3
15 opelxp 5034 . . . 4
16 simpl3 1001 . . . . . 6
17 simpl1 999 . . . . . 6
1816, 17elmapd 7453 . . . . 5
19 simpl2 1000 . . . . . 6
2016, 19elmapd 7453 . . . . 5
2118, 20anbi12d 710 . . . 4
2215, 21syl5bb 257 . . 3
2314, 22syl5ibr 221 . 2
24 xp1st 6830 . . . . . . 7
2524adantl 466 . . . . . 6
26 elmapi 7460 . . . . . 6
2725, 26syl 16 . . . . 5
28 xp2nd 6831 . . . . . . 7
2928adantl 466 . . . . . 6
30 elmapi 7460 . . . . . 6
3129, 30syl 16 . . . . 5
32 simplr 755 . . . . 5
33 fun2 5754 . . . . 5
3427, 31, 32, 33syl21anc 1227 . . . 4
3534ex 434 . . 3
36 unexg 6601 . . . . 5
3717, 19, 36syl2anc 661 . . . 4
3816, 37elmapd 7453 . . 3
3935, 38sylibrd 234 . 2
40 1st2nd2 6837 . . . . . . 7
4140ad2antll 728 . . . . . 6
4227adantrl 715 . . . . . . . 8
4331adantrl 715 . . . . . . . 8
44 res0 5283 . . . . . . . . . 10
45 res0 5283 . . . . . . . . . 10
4644, 45eqtr4i 2489 . . . . . . . . 9
47 simplr 755 . . . . . . . . . 10
4847reseq2d 5278 . . . . . . . . 9
4947reseq2d 5278 . . . . . . . . 9
5046, 48, 493eqtr4a 2524 . . . . . . . 8
51 fresaunres1 5763 . . . . . . . 8
5242, 43, 50, 51syl3anc 1228 . . . . . . 7
53 fresaunres2 5762 . . . . . . . 8
5442, 43, 50, 53syl3anc 1228 . . . . . . 7
5552, 54opeq12d 4225 . . . . . 6
5641, 55eqtr4d 2501 . . . . 5
57 reseq1 5272 . . . . . . 7
58 reseq1 5272 . . . . . . 7
5957, 58opeq12d 4225 . . . . . 6
6059eqeq2d 2471 . . . . 5
6156, 60syl5ibrcom 222 . . . 4
62 ffn 5736 . . . . . . . 8
63 fnresdm 5695 . . . . . . . 8
647, 62, 633syl 20 . . . . . . 7
6564ad2antrl 727 . . . . . 6
6665eqcomd 2465 . . . . 5
67 vex 3112 . . . . . . . . . 10
6867resex 5322 . . . . . . . . 9
6967resex 5322 . . . . . . . . 9
7068, 69op1std 6810 . . . . . . . 8
7168, 69op2ndd 6811 . . . . . . . 8
7270, 71uneq12d 3658 . . . . . . 7
73 resundi 5292 . . . . . . 7
7472, 73syl6eqr 2516 . . . . . 6
7574eqeq2d 2471 . . . . 5
7666, 75syl5ibrcom 222 . . . 4
7761, 76impbid 191 . . 3
7877ex 434 . 2
792, 6, 23, 39, 78en3d 7572 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818   cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475   c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296   c1st 6798   c2nd 6799   cmap 7439   cen 7533
This theorem is referenced by:  map2xp  7707  mapdom2  7708  mapcdaen  8585  ackbij1lem5  8625  hashmap  12493
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-en 7537
  Copyright terms: Public domain W3C validator