Theorem mapunen 7706

Description: Equinumerosity law for set exponentiation of a disjoint union. Exercise 4.45 of [Mendelson] p. 255. (Contributed by NM, 23-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
mapunen

Proof of Theorem mapunen

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovex 6324	. . 3
2	1	a1i 11	. 2
3		ovex 6324	. . . 4
4		ovex 6324	. . . 4
5	3, 4	xpex 6604	. . 3
6	5	a1i 11	. 2
7		elmapi 7460	. . . . 5
8		ssun1 3666	. . . . 5
9		fssres 5756	. . . . 5
10	7, 8, 9	sylancl 662	. . . 4
11		ssun2 3667	. . . . 5
12		fssres 5756	. . . . 5
13	7, 11, 12	sylancl 662	. . . 4
14	10, 13	jca 532	. . 3
15		opelxp 5034	. . . 4
16		simpl3 1001	. . . . . 6
17		simpl1 999	. . . . . 6
18	16, 17	elmapd 7453	. . . . 5
19		simpl2 1000	. . . . . 6
20	16, 19	elmapd 7453	. . . . 5
21	18, 20	anbi12d 710	. . . 4
22	15, 21	syl5bb 257	. . 3
23	14, 22	syl5ibr 221	. 2
24		xp1st 6830	. . . . . . 7
25	24	adantl 466	. . . . . 6
26		elmapi 7460	. . . . . 6
27	25, 26	syl 16	. . . . 5
28		xp2nd 6831	. . . . . . 7
29	28	adantl 466	. . . . . 6
30		elmapi 7460	. . . . . 6
31	29, 30	syl 16	. . . . 5
32		simplr 755	. . . . 5
33		fun2 5754	. . . . 5
34	27, 31, 32, 33	syl21anc 1227	. . . 4
35	34	ex 434	. . 3
36		unexg 6601	. . . . 5
37	17, 19, 36	syl2anc 661	. . . 4
38	16, 37	elmapd 7453	. . 3
39	35, 38	sylibrd 234	. 2
40		1st2nd2 6837	. . . . . . 7
41	40	ad2antll 728	. . . . . 6
42	27	adantrl 715	. . . . . . . 8
43	31	adantrl 715	. . . . . . . 8
44		res0 5283	. . . . . . . . . 10
45		res0 5283	. . . . . . . . . 10
46	44, 45	eqtr4i 2489	. . . . . . . . 9
47		simplr 755	. . . . . . . . . 10
48	47	reseq2d 5278	. . . . . . . . 9
49	47	reseq2d 5278	. . . . . . . . 9
50	46, 48, 49	3eqtr4a 2524	. . . . . . . 8
51		fresaunres1 5763	. . . . . . . 8
52	42, 43, 50, 51	syl3anc 1228	. . . . . . 7
53		fresaunres2 5762	. . . . . . . 8
54	42, 43, 50, 53	syl3anc 1228	. . . . . . 7
55	52, 54	opeq12d 4225	. . . . . 6
56	41, 55	eqtr4d 2501	. . . . 5
57		reseq1 5272	. . . . . . 7
58		reseq1 5272	. . . . . . 7
59	57, 58	opeq12d 4225	. . . . . 6
60	59	eqeq2d 2471	. . . . 5
61	56, 60	syl5ibrcom 222	. . . 4
62		ffn 5736	. . . . . . . 8
63		fnresdm 5695	. . . . . . . 8
64	7, 62, 63	3syl 20	. . . . . . 7
65	64	ad2antrl 727	. . . . . 6
66	65	eqcomd 2465	. . . . 5
67		vex 3112	. . . . . . . . . 10
68	67	resex 5322	. . . . . . . . 9
69	67	resex 5322	. . . . . . . . 9
70	68, 69	op1std 6810	. . . . . . . 8
71	68, 69	op2ndd 6811	. . . . . . . 8
72	70, 71	uneq12d 3658	. . . . . . 7
73		resundi 5292	. . . . . . 7
74	72, 73	syl6eqr 2516	. . . . . 6
75	74	eqeq2d 2471	. . . . 5
76	66, 75	syl5ibrcom 222	. . . 4
77	61, 76	impbid 191	. . 3
78	77	ex 434	. 2
79	2, 6, 23, 39, 78	en3d 7572	1

Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 973  =wceq 1395  e.wcel 1818  cvv 3109  u.cun 3473  i^icin 3474  C_wss 3475  c0 3784  <.cop 4035   class class class wbr 4452  X.cxp 5002  |`cres 5006  Fnwfn 5588  -->wf 5589  `cfv 5593  (class class class)co 6296  c1st 6798  c2nd 6799  cmap 7439  cen 7533

This theorem is referenced by:  map2xp  7707  mapdom2  7708  mapcdaen  8585  ackbij1lem5  8625  hashmap  12493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1618  ax-4 1631  ax-5 1704  ax-6 1747  ax-7 1790  ax-8 1820  ax-9 1822  ax-10 1837  ax-11 1842  ax-12 1854  ax-13 1999  ax-ext 2435  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6592

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1613  df-nf 1617  df-sb 1740  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3435  df-dif 3478  df-un 3480  df-in 3482  df-ss 3489  df-nul 3785  df-if 3942  df-pw 4014  df-sn 4030  df-pr 4032  df-op 4036  df-uni 4250  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6800  df-2nd 6801  df-map 7441  df-en 7537