MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapxpen Unicode version

Theorem mapxpen 7436
Description: Equinumerosity law for double set exponentiation. Proposition 10.45 of [TakeutiZaring] p. 96. (Contributed by NM, 21-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapxpen

Proof of Theorem mapxpen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6086 . . 3
21a1i 11 . 2
3 ovex 6086 . . 3
43a1i 11 . 2
5 elmapi 7195 . . . . . . . . . 10
65ffvelrnda 5813 . . . . . . . . 9
7 elmapi 7195 . . . . . . . . 9
86, 7syl 16 . . . . . . . 8
98ffvelrnda 5813 . . . . . . 7
109an32s 787 . . . . . 6
1110ralrimiva 2778 . . . . 5
1211ralrimiva 2778 . . . 4
13 eqid 2422 . . . . 5
1413fmpt2 6610 . . . 4
1512, 14sylib 190 . . 3
16 simp1 973 . . . 4
17 xpexg 6477 . . . . 5
18173adant1 991 . . . 4
19 elmapg 7188 . . . 4
2016, 18, 19syl2anc 646 . . 3
2115, 20syl5ibr 215 . 2
22 elmapi 7195 . . . . . . . . 9
2322adantl 456 . . . . . . . 8
24 fovrn 6203 . . . . . . . . . 10
25243expa 1172 . . . . . . . . 9
2625an32s 787 . . . . . . . 8
2723, 26sylanl1 635 . . . . . . 7
28 eqid 2422 . . . . . . 7
2927, 28fmptd 5837 . . . . . 6
30 elmapg 7188 . . . . . . . 8
31303adant3 993 . . . . . . 7
3231ad2antrr 710 . . . . . 6
3329, 32mpbird 226 . . . . 5
34 eqid 2422 . . . . 5
3533, 34fmptd 5837 . . . 4
3635ex 427 . . 3
37 ovex 6086 . . . 4
38 simp3 975 . . . 4
39 elmapg 7188 . . . 4
4037, 38, 39sylancr 648 . . 3
4136, 40sylibrd 228 . 2
42 ffn 5529 . . . . . . . . 9
4322, 42syl 16 . . . . . . . 8
4443ad2antll 713 . . . . . . 7
45 fnov 6168 . . . . . . 7
4644, 45sylib 190 . . . . . 6
47 simp3 975 . . . . . . . . . 10
4829adantlrl 704 . . . . . . . . . . . 12
49483adant2 992 . . . . . . . . . . 11
50 simp1l2 1067 . . . . . . . . . . 11
51 simp1l1 1066 . . . . . . . . . . 11
52 fex2 6501 . . . . . . . . . . 11
5349, 50, 51, 52syl3anc 1203 . . . . . . . . . 10
5434fvmpt2 5751 . . . . . . . . . 10
5547, 53, 54syl2anc 646 . . . . . . . . 9
5655fveq1d 5663 . . . . . . . 8
57 simp2 974 . . . . . . . . 9
58 ovex 6086 . . . . . . . . 9
5928fvmpt2 5751 . . . . . . . . 9
6057, 58, 59sylancl 647 . . . . . . . 8
6156, 60eqtrd 2454 . . . . . . 7
6261mpt2eq3dva 6120 . . . . . 6
6346, 62eqtr4d 2457 . . . . 5
64 eqid 2422 . . . . . . 7
65 nfcv 2558 . . . . . . . . . 10
66 nfmpt1 4356 . . . . . . . . . 10
6765, 66nfmpt 4355 . . . . . . . . 9
6867nfeq2 2569 . . . . . . . 8
69 nfmpt1 4356 . . . . . . . . . . . 12
7069nfeq2 2569 . . . . . . . . . . 11
71 fveq1 5660 . . . . . . . . . . . . 13
7271fveq1d 5663 . . . . . . . . . . . 12
7372a1d 24 . . . . . . . . . . 11
7470, 73ralrimi 2776 . . . . . . . . . 10
75 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
7674, 75jctil 527 . . . . . . . . 9
7776a1d 24 . . . . . . . 8
7868, 77ralrimi 2776 . . . . . . 7
79 mpt2eq123 6115 . . . . . . 7
8064, 78, 79sylancr 648 . . . . . 6
8180eqeq2d 2433 . . . . 5
8263, 81syl5ibrcom 216 . . . 4
835ad2antrl 712 . . . . . . 7
8483feqmptd 5714 . . . . . 6
85 simprl 740 . . . . . . . . 9
8685, 8sylan 461 . . . . . . . 8
8786feqmptd 5714 . . . . . . 7
8887mpteq2dva 4353 . . . . . 6
8984, 88eqtrd 2454 . . . . 5
90 nfmpt22 6124 . . . . . . . . 9
9190nfeq2 2569 . . . . . . . 8
92 eqidd 2423 . . . . . . . . 9
93 nfmpt21 6123 . . . . . . . . . . 11
9493nfeq2 2569 . . . . . . . . . 10
95 nfv 1664 . . . . . . . . . 10
96 fvex 5671 . . . . . . . . . . . . 13
9713ovmpt4g 6183 . . . . . . . . . . . . 13
9896, 97mp3an3 1288 . . . . . . . . . . . 12
99 oveq 6067 . . . . . . . . . . . . 13
10099eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . . 12
10198, 100syl5ibr 215 . . . . . . . . . . 11
102101exp3acom23 1407 . . . . . . . . . 10
10394, 95, 102ralrimd 2783 . . . . . . . . 9
104 mpteq12 4346 . . . . . . . . 9
10592, 103, 104ee12an 1399 . . . . . . . 8
10691, 105ralrimi 2776 . . . . . . 7
107 mpteq12 4346 . . . . . . 7
10875, 106, 107sylancr 648 . . . . . 6
109108eqeq2d 2433 . . . . 5
11089, 109syl5ibrcom 216 . . . 4
11182, 110impbid 185 . . 3
112111ex 427 . 2
1132, 4, 21, 41, 112en3d 7305 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 178  /\wa 362  /\w3a 950  =wceq 1687  e.wcel 1749  A.wral 2694   cvv 2951   class class class wbr 4267  e.cmpt 4325  X.cxp 4809  Fnwfn 5385  -->wf 5386  `cfv 5390  (class class class)co 6061  e.cmpt2 6063   cmap 7175   cen 7266
This theorem is referenced by:  mappwen  8229  cfpwsdom  8695  rpnnen  13449  rexpen  13450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1586  ax-4 1597  ax-5 1661  ax-6 1701  ax-7 1721  ax-8 1751  ax-9 1753  ax-10 1768  ax-11 1773  ax-12 1785  ax-13 1934  ax-ext 2403  ax-sep 4388  ax-nul 4396  ax-pow 4442  ax-pr 4503  ax-un 6342
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 363  df-an 364  df-3an 952  df-tru 1355  df-ex 1582  df-nf 1585  df-sb 1694  df-eu 2248  df-mo 2249  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2547  df-ne 2587  df-ral 2699  df-rex 2700  df-rab 2703  df-v 2953  df-sbc 3165  df-csb 3266  df-dif 3308  df-un 3310  df-in 3312  df-ss 3319  df-nul 3615  df-if 3769  df-pw 3839  df-sn 3859  df-pr 3860  df-op 3862  df-uni 4067  df-iun 4148  df-br 4268  df-opab 4326  df-mpt 4327  df-id 4607  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5353  df-fun 5392  df-fn 5393  df-f 5394  df-f1 5395  df-fo 5396  df-f1o 5397  df-fv 5398  df-ov 6064  df-oprab 6065  df-mpt2 6066  df-1st 6546  df-2nd 6547  df-map 7177  df-en 7270
  Copyright terms: Public domain W3C validator