MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapxpen Unicode version

Theorem mapxpen 7611
Description: Equinumerosity law for double set exponentiation. Proposition 10.45 of [TakeutiZaring] p. 96. (Contributed by NM, 21-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
mapxpen

Proof of Theorem mapxpen
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6247 . . 3
21a1i 11 . 2
3 ovex 6247 . . 3
43a1i 11 . 2
5 elmapi 7368 . . . . . . . . . 10
65ffvelrnda 5966 . . . . . . . . 9
7 elmapi 7368 . . . . . . . . 9
86, 7syl 16 . . . . . . . 8
98ffvelrnda 5966 . . . . . . 7
109an32s 802 . . . . . 6
1110ralrimiva 2831 . . . . 5
1211ralrimiva 2831 . . . 4
13 eqid 2454 . . . . 5
1413fmpt2 6774 . . . 4
1512, 14sylib 196 . . 3
16 simp1 988 . . . 4
17 xpexg 6640 . . . . 5
18173adant1 1006 . . . 4
19 elmapg 7361 . . . 4
2016, 18, 19syl2anc 661 . . 3
2115, 20syl5ibr 221 . 2
22 elmapi 7368 . . . . . . . . 9
2322adantl 466 . . . . . . . 8
24 fovrn 6366 . . . . . . . . . 10
25243expa 1188 . . . . . . . . 9
2625an32s 802 . . . . . . . 8
2723, 26sylanl1 650 . . . . . . 7
28 eqid 2454 . . . . . . 7
2927, 28fmptd 5990 . . . . . 6
30 elmapg 7361 . . . . . . . 8
31303adant3 1008 . . . . . . 7
3231ad2antrr 725 . . . . . 6
3329, 32mpbird 232 . . . . 5
34 eqid 2454 . . . . 5
3533, 34fmptd 5990 . . . 4
3635ex 434 . . 3
37 ovex 6247 . . . 4
38 simp3 990 . . . 4
39 elmapg 7361 . . . 4
4037, 38, 39sylancr 663 . . 3
4136, 40sylibrd 234 . 2
42 ffn 5679 . . . . . . . . 9
4322, 42syl 16 . . . . . . . 8
4443ad2antll 728 . . . . . . 7
45 fnov 6331 . . . . . . 7
4644, 45sylib 196 . . . . . 6
47 simp3 990 . . . . . . . . . 10
4829adantlrl 719 . . . . . . . . . . . 12
49483adant2 1007 . . . . . . . . . . 11
50 simp1l2 1082 . . . . . . . . . . 11
51 simp1l1 1081 . . . . . . . . . . 11
52 fex2 6665 . . . . . . . . . . 11
5349, 50, 51, 52syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10
5434fvmpt2 5904 . . . . . . . . . 10
5547, 53, 54syl2anc 661 . . . . . . . . 9
5655fveq1d 5815 . . . . . . . 8
57 simp2 989 . . . . . . . . 9
58 ovex 6247 . . . . . . . . 9
5928fvmpt2 5904 . . . . . . . . 9
6057, 58, 59sylancl 662 . . . . . . . 8
6156, 60eqtrd 2495 . . . . . . 7
6261mpt2eq3dva 6282 . . . . . 6
6346, 62eqtr4d 2498 . . . . 5
64 eqid 2454 . . . . . . 7
65 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10
66 nfmpt1 4498 . . . . . . . . . 10
6765, 66nfmpt 4497 . . . . . . . . 9
6867nfeq2 2633 . . . . . . . 8
69 nfmpt1 4498 . . . . . . . . . . . 12
7069nfeq2 2633 . . . . . . . . . . 11
71 fveq1 5812 . . . . . . . . . . . . 13
7271fveq1d 5815 . . . . . . . . . . . 12
7372a1d 25 . . . . . . . . . . 11
7470, 73ralrimi 2824 . . . . . . . . . 10
75 eqid 2454 . . . . . . . . . 10
7674, 75jctil 537 . . . . . . . . 9
7776a1d 25 . . . . . . . 8
7868, 77ralrimi 2824 . . . . . . 7
79 mpt2eq123 6277 . . . . . . 7
8064, 78, 79sylancr 663 . . . . . 6
8180eqeq2d 2468 . . . . 5
8263, 81syl5ibrcom 222 . . . 4
835ad2antrl 727 . . . . . . 7
8483feqmptd 5867 . . . . . 6
85 simprl 755 . . . . . . . . 9
8685, 8sylan 471 . . . . . . . 8
8786feqmptd 5867 . . . . . . 7
8887mpteq2dva 4495 . . . . . 6
8984, 88eqtrd 2495 . . . . 5
90 nfmpt22 6286 . . . . . . . . 9
9190nfeq2 2633 . . . . . . . 8
92 eqidd 2455 . . . . . . . . 9
93 nfmpt21 6285 . . . . . . . . . . 11
9493nfeq2 2633 . . . . . . . . . 10
95 nfv 1674 . . . . . . . . . 10
96 fvex 5823 . . . . . . . . . . . . 13
9713ovmpt4g 6346 . . . . . . . . . . . . 13
9896, 97mp3an3 1304 . . . . . . . . . . . 12
99 oveq 6228 . . . . . . . . . . . . 13
10099eqeq1d 2456 . . . . . . . . . . . 12
10198, 100syl5ibr 221 . . . . . . . . . . 11
102101expcomd 438 . . . . . . . . . 10
10394, 95, 102ralrimd 2912 . . . . . . . . 9
104 mpteq12 4488 . . . . . . . . 9
10592, 103, 104syl6an 545 . . . . . . . 8
10691, 105ralrimi 2824 . . . . . . 7
107 mpteq12 4488 . . . . . . 7
10875, 106, 107sylancr 663 . . . . . 6
109108eqeq2d 2468 . . . . 5
11089, 109syl5ibrcom 222 . . . 4
11182, 110impbid 191 . . 3
112111ex 434 . 2
1132, 4, 21, 41, 112en3d 7480 1
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ->wi 4  <->wb 184  /\wa 369  /\w3a 965  =wceq 1370  e.wcel 1758  A.wral 2800   cvv 3081   class class class wbr 4409  e.cmpt 4467  X.cxp 4955  Fnwfn 5532  -->wf 5533  `cfv 5537  (class class class)co 6222  e.cmpt2 6224   cmap 7348   cen 7441
This theorem is referenced by:  mappwen  8419  cfpwsdom  8885  rpnnen  13667  rexpen  13668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4530  ax-nul 4538  ax-pow 4587  ax-pr 4648  ax-un 6505
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2805  df-rex 2806  df-rab 2809  df-v 3083  df-sbc 3298  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3752  df-if 3906  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4209  df-iun 4290  df-br 4410  df-opab 4468  df-mpt 4469  df-id 4753  df-xp 4963  df-rel 4964  df-cnv 4965  df-co 4966  df-dm 4967  df-rn 4968  df-res 4969  df-ima 4970  df-iota 5500  df-fun 5539  df-fn 5540  df-f 5541  df-f1 5542  df-fo 5543  df-f1o 5544  df-fv 5545  df-ov 6225  df-oprab 6226  df-mpt2 6227  df-1st 6710  df-2nd 6711  df-map 7350  df-en 7445
  Copyright terms: Public domain W3C validator